This work aims to study the equitable total coloring into subfamilies of regular graphs. For this purpose, we use some relationships between equitable total coloring and range (vertex) coloring in some regular graphs. The concept of range coloring of order k was first presented by Lozano et al. (2009). In this paper, we shows that if a regular graph G admits an equitable range coloring c of order with (+ 1) colors then there is an equitable total coloring of G-with the same set of colors-that extends c. We also show that there are infinite graphs satisfying this theorem. Such graphs are called Harmonics. We generate Harmonic Graphs which are Cartesian products of cycles and their complements. These graphs are regular and they admit an equitable total coloring under the above conditions.

Resumo: Neste trabalho, os conceitos de produto funcional e coloração total equilibrada em grafos foram utilizados para propor um modelo Introdução Lozano et. al. (2008) utilizaram a coloração total equilibrada em grafos para obter uma representação natural para o processamento paralelo em redes de interconexão, respeitando a conjectura de Vizing. A partir deste estudo, Siqueira (2011) e Lozano et. al. (2012 desenvolveram um estudo sobre a construção de novas topologias de redes de interconexão, a partir da coloração total equilibrada em grafos regulares, com ∆ + 2 cores, no máximo. Apesar de na atualidade o conceito de redes de interconexão, da forma que aparece no trabalho original, seja pouco utilizado, o conceito de sistemas multiagentes vem ganhando cada vez mais espaço e aplicabilidade, conforme mostra Reis (2003). É sobre este tripé (coloração total equilibrada em grafos, produto funcional e sistemas multiagentes) que este trabalho se apoia.Este texto está organizado da seguinte forma: inicialmente abordamos o conceito de produto funcional de grafos, que generaliza a ideia de produto cartesiano. Em seguida, adentramos no aspecto computacional com modelos de redes de interconexão, juntamente com os sistemas multiagentes, e finalizamos o trabalho apresentando um exemplo de conexão entre dois sistemas multiagentes, utilizando como base o produto funcional. Produto Funcional de GrafosConceitos introdutórios sobre grafos e coloração podem ser encontrados em Bondy e

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Resumo. Neste trabalho apresentamos o conceito de famílias consistentes e alguns resultados teóricos, com o objetivo principal de desenvolver uma heurística para a coloração total de grafos, procurando respeitar a conjectura de Vizing-Behzad. Para isso, denimos inicialmente alguns termos necessários para a identicação destas famílias. Em seguida, provamos quatro proposições relativas a este novo conceito, e nalizamos o texto fazendo a conexão entre estas famílias e a coloração total.Palavras-chave. Família consistente, conjectura de Vizing, coloração total. IntroduçãoExistem diversas heurísticas que tratam o problema da coloração em grafos [2,4,5], e neste trabalho, apresentamos alguns resultados teóricos e uma nova heurística para obter a coloração total de um grafo, com no máximo ∆ + 2 cores (conjectura de Vizing-Behzad), baseada no conceito de famílias consistentes. Este texto está organizado da seguinte forma: inicialmente apresentamos os conceitos de família nita, subfamília, multiplicidade, igualdade de famílias e família robusta, que serão necessários para a introdução dos conceitos de família consistente, elemento crítico e família associada. Em seguida, enunciamos e provamos quatro proposições que serão úteis para a identicação e construção das famílias consistentes. Finalizamos o trabalho fazendo a conexão entre estas famílias e o processo de coloração total de grafos. Ressaltamos ainda, que das quatro proposições apresentadas, a 3.3 e a 3.4 representam novas contribuições para o desenvolvimento deste estudo.

Resumo. Neste trabalho introduzimos o conceito de coloração total absolutamente equilibrada e provamos que para n, k ∈ N, se (k + 1)|n, existe um grafo k-regular conexo com n vértices que admite uma coloração total absolutamente equilibrada com no máximo ∆ + 2 cores. Esse resultado mostra que existe uma relação entre a regularidade e o número de vértices do grafo que possibilita a construção de uma família de grafos regulares, denominados grafos harmônicos. Finalizamos apresentando um resultado relacionado ao invariante conectividade, mostrando que os grafos harmônicos não possuem vértice de corte, fato que implica que todo grafo harmônico possui conectividade de vértices κ(G) ≥ 2.