Resumo. Neste trabalho veremos que todo grafo com pesos nos vértices pode ser associado a alguma aplicação estável de uma superfície fechada na esfera, generalizando resultados de aplicações estáveis de superfícies fechadas e orientadas na esfera.Palavras-chave. Aplicações Estáveis, Grafos com Pesos, Superfícies Fechadas IntroduçãoSegundo Whitney [10], as aplicações estáveis entre duas superfícies, localmente, podem ser vistas como aplicações do plano no plano. Se a superfície domínioé compacta, o conjunto singular de uma aplicação estável consiste de uma coleção de curvas fechadas, simples e disjuntas sobre o domínio, e estas curvas singulares podem separar ou não as componentes regulares.O estudo do ponto de vista global destas aplicações, teve seu início com HaconRomero [2] em 2001, onde foi introduzido o grafo dual de aplicações estáveis, como um invariante topológico global de aplicações de superfícies fechadas no plano. Além de ser um invariante topológico, o grafoé uma ferramentaútil na construção de exemplos destas aplicações com um conjunto singular pré-determinado. Esta técnica foi estendida para aplicações entre superfícies fechadas orientadas em [4,5,9], aplicações de Gauss estáveis de superfícies fechadas no 3-espaço [6], aplicações de três variedades fechadas no 3-espaço em [7] e emparelhamento de arestas em [1].Aqui, aplicamos a técnica de cirurgias para provar os Teoremas 4.3 e 4.4. Estes resultados são estensões dos Teoremas 4.1 e 4.2, obtidos em [4], que apresentam condições necessárias e suficientes para que grafos com pesos nos vértices possam ser associadosàs aplicações estáveis de superfícies fechadas na esfera. Grafos associados a aplicações estáveis entre superfíciesSejam M e N duas superfícies suaves e C ∞ (M, N ) o espaço de todas as aplicações de classe C ∞ de M em N. Duas aplicações f, g ∈ C ∞ (M, N ) são ditas A−equivalentes, 1 alana@decea.ufop.br 2 cmendes@ufv.br

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