We show that the Chow group of 0-cycles on a K3 surface contains a class of degree 1 with remarkable properties: any product of divisors is proportional to this class, and so is the second Chern class c 2 .

The first of two volumes offering a modern introduction to Kaehlerian geometry and Hodge structure. The book starts with basic material on complex variables, complex manifolds, holomorphic vector bundles, sheaves and cohomology theory, the latter being treated in a more theoretical way than is usual in geometry. The author then proves the Kaehler identities, which leads to the hard Lefschetz theorem and the Hodge index theorem. The book culminates with the Hodge decomposition theorem. The meanings of these results are investigated in several directions. Completely self-contained, the book is ideal for students, while its content gives an account of Hodge theory and complex algebraic geometry as has been developed by P. Griffiths and his school, by P. Deligne, and by S. Bloch. The text is complemented by exercises which provide useful results in complex algebraic geometry.

Introduction page I Preliminaries 1 Holomorphic Functions of Many Variables 1.1 Holomorphic functions of one variable 1.1.1 Definition and basic properties 1.1.2 Background on Stokes' formula 1.1.3 Cauchy's formula 1.2 Holomorphic functions of several variables 1.2.1 Cauchy's formula and analyticity 1.2.2 Applications of Cauchy's formula 1.3 The equation ∂g ∂z = f Exercises 2 Complex Manifolds 2.1 Manifolds and vector bundles 2.1.1 Definitions 2.1.2 The tangent bundle 2.1.3 Complex manifolds 2.2 Integrability of almost complex structures 2.2.1 Tangent bundle of a complex manifold 2.2.2 The Frobenius theorem 2.2.3 The Newlander-Nirenberg theorem 2.3 The operators ∂ and ∂ 2.3.1 Definition 2.3.2 Local exactness 2.3.3 Dolbeault complex of a holomorphic bundle 2.4 Examples of complex manifolds Exercises v vi Contents 3 Kähler Metrics 3.1 Definition and basic properties 3.1.1 Hermitian geometry 3.1.2 Hermitian and Kähler metrics 3.1.3 Basic properties 3.2 Characterisations of Kähler metrics 3.2.1 Background on connections 3.2.2 Kähler metrics and connections 3.3 Examples of Kähler manifolds 3.3.1 Chern form of line bundles 3.

Building upon the Bloch-Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients with a group which measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree 4. As a first consequence, a geometric theorem of the second-named author implies that the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients vanishes on all uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Ojanguren and the first named author implies that the integral Hodge conjecture in degree 4 fails for unirational varieties of dimension at least 6. For certain classes of threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fibre.Résumé : En nous appuyant sur la conjecture de Bloch-Kato en K-théorie de Milnor, nouś etablissons un lien général entre le défaut de la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 et le troisième groupe de cohomologie non ramifiéeà coefficients Q/Z. Ceci permet de montrer que sur un solide 1 uniréglé le troisième groupe de cohomologie non ramifiéeà coefficients Q/Z s'annule, ce que la K-théorie algébrique ne permet d'obtenir que dans certains cas. Ceci permetà l'inverse de déduire d'exemples ayant leur source en K-théorie que la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 peutêtre en défaut pour les variétés rationnellement connexes. Pour certaines famillesà un paramètre de surfaces, onétablit un lien entre la conjecture de Hodge entière et l'indice de la fibre générique. 1. en anglais, threefold La théorie de Bloch-Ogus, combinéeà la conjecture de Bloch-Kato, maintenant un théorème de Voevodsky [54] et Rost, età un argument de Bloch et Srinivas, permet d'établir un lien entre les deux types d'invariants. Pour les variétés de dimension 3, ce lien avaitété remarqué en 1992 par Barbieri-Viale [3]. En prenant appui sur le cas général de la conjecture de Bloch-Kato, nous montrons au §3 que le lien existe en toute dimension. Le théorème général est le théorème 3.7. Citons-en ici une conséquence (Théorème 3.9) : Théorème 1.1. Soit X une variété, projective et lisse sur les complexes, dont le groupe de Chow des zéro-cycles CH 0 (X) est supporté sur une surface. On a un isomorphisme de groupes finis H 3 nr (X, Q/Z(2)) ≃ → Z 4 (X), où le premier groupe est l'union de ses sous-groupes H 3 nr (X, µ ⊗2 n ). Cela nous permet de traduire et comparer les résultats obtenus par la géométrie algébrique et par la K-théorie algébrique. La combinaison du théorème 1.1 et d'un théorème obtenu par des méthodes de géométrie complexe [57] donne : Théorème 1.2. Soit X un solide projectif et lisse sur les complexes. Si X est uniréglé, alors H 3 nr (X, Q/Z(2)) = 0. Pour les solides fibrés en coniques sur une surface, ce résultat avaitété obtenu via la K-théorie algébrique en 1989 [42]. La combinaison du théorème 1.1 et d'un contre-exempleà la rationalité obtenu par des méthodes de K-théorie algébrique [16] donne :Théorème 1.3. Il existe une variété X projective, li...