We consider the stability problem for the difference system x n = Ax n−1 + Bx n−k , where A, B are real matrixes and the delay k is a positive integer. In the case A = −I, the equation is asymptotically stable if and only if all eigenvalues of the matrix B lie inside a special stability oval in the complex plane. If k is odd, then the oval is in the right half-plane, otherwise, in the left half-plane. If A + B < 1, then the equation is asymptotically stable. We derive explicit sufficient stability conditions for A I and A −I.

We prove that if a s $ 0 ð1 # s # kÞ and 0 , X k s¼1 a s 2 sin p 2ð2s21Þ , 1; then the equationa s xðn 2 sÞ is asymptotically stable. As a corollary, we obtain sufficient asymptotic stability conditions: a s > 0 and 0 , X k s¼1 sa s # p 2

Сравниваются признаки асимптотической устойчивости линейных разностных уравнений авторов публикации и некоторые известные при-знаки других авторов. Достаточные условия авторов лучше, чем известные ранее признаки. Конкурирующими являются признаки авторов и китай-ских исследователей. Признаки Кипниса и Комисаровой содержат линей-ные ограничения на коэффициенты уравнения, а в работе китайских иссле-дователей были найдены нелинейные условия асимптотической устойчиво-сти. Существуют области в пространстве положительных коэффициентов уравнения, устойчивость в которых диагностируется с помощью признаков авторов, но не выявляется признаком китайских исследователей, и наобо-рот. Показаны области гарантированной устойчивости, которые выявля-ются различными признаками, на примере уравнения с двумя запаздыва-ниями. Указаны классы разностных уравнений, в которых признаки Кип-ниса и Комиcсаровой заведомо лучше. Доказаны соответствующие теоре-мы. Приведены примеры, иллюстрирующие возможности применения раз-личных признаков.Ключевые слова: устойчивость; разностные уравнения.

No abstract