O formalismo de Carathéodory para a termodinâmica clássica é uma rica abordagem alternativa para essa teoria, apesar de impopular entre estudantes e professores de física. Essa abordagem dispensa o conteúdo das máquinas térmicas para a apresentação da segunda lei da termodinâmica. Neste artigo, discutimos o formalismo de Carathéodory historicamente, e mostramos como o axioma de Carathéodory da segunda lei da termodinâmica se deduz, didaticamente, do princípio de Clausius e do princípio de Kelvin. Além disso, fornecendo também um caráter objetivo para este artigo, no sentido de buscar popularizar o ensino do formalismo de Carathéodory em disciplinas de termodinâmica clássica em nível de graduação, guiamos o leitor até a obtenção da entropia e do conteúdo matemático da segunda lei da termodinâmica através desse formalismo. Por último, considerando a ampla literatura revisada, a prova que demos para a dedução do axioma de Carathéodory da segunda lei da termodinâmica a partir do princípio de Clausius é nova.