We show that all triples [Formula: see text] of singular moduli satisfying [Formula: see text] are “trivial”. That is, either [Formula: see text]; some [Formula: see text] and the remaining [Formula: see text] are distinct, of degree 2, and conjugate over [Formula: see text]; or [Formula: see text] are pairwise distinct, of degree 3, and conjugate over [Formula: see text]. This theorem is best possible and is the natural three-dimensional analogue of a result of Bilu, Luca and Pizarro-Madariaga in two dimensions. It establishes an explicit version of the André–Oort conjecture for the family of subvarieties [Formula: see text] defined by an equation [Formula: see text].

Let a ∈ Z >0 and ǫ, ǫ 1 , ǫ 2 , ǫ 3 ∈ {±1}. We classify explicitly all singular moduli x 1 , x 2 , x 3 satisfying either ǫIn particular, we show that all solutions in singular moduli x 1 , x 2 , x 3 to the Fermat equations x a 1 + x a 2 + x a 3 = 0 and x a 1 + x a 2 − x a 3 = 0 satisfy x 1 x 2 x 3 = 0. Our proofs use a generalisation of a result of Faye and Riffaut on the fields generated by sums and products of two singular moduli, which we also establish.

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