Seja M um módulo finitamente gerado sobre um anel local (R, m). Por S j (M), denotamos a j-ésima potência simétrica de M( j-ésima componente graduada da álgebra simétrica S R (M)).O propósito desta tese é investigar a resolução livre minimal de S j (M) como R-módulo para cada j ≥ 2 e determinar os números de Betti de S j (M) em termos dos números de Betti de M. Isso tem algumas aplicações, por exemplo para ideais de tipo linear I, obtemos fórmulas dos números de Betti de I j em termos dos números de Betti de I. Além disso, estabelecemos cotas superiores e inferiores para os números de Betti de S j (M) em termos dos números de Betti de M. Em particular, obtemos algumas aplicações sobre a famosa conjectura de Buchsbaum-Eisenbud-Horrocks.