As ideias apresentadas por Balacheff evidenciam a importância do trabalho com as provas e demonstrações matemáticas na Educação Básica pois, em seu estudo, ele se interessou em saber qual a natureza das provas, se é possível elucidar uma hierarquia da gênese da demonstração e quais são os meios de provocar sua evolução. Balacheff teve como base epistemológica o método das provas e refutações de Imre Lakatos, o qual descreve a Matemática como uma ciência falível, semi-empírica e que cresce por meio da crítica e correção de teorias, estimulando assim o trabalho com procura por regularidades, teste, formulação, justificação, refutação, reformulação, reflexão e generalização. Já as ideias defendidas por van Hiele evidenciam a importância de compreender os níveis de pensamento geométrico dos alunos para, assim, elaborar materiais e utilizar a linguagem adequada para cada nível. Para isso, van Hiele recebe algumas influências da psicologia da Gestalt sobre o conceito de insight e as leis da teoria da apercepção, como também traz alguns conceitos do processo mental racional de Selz e as ideias de Van Parreren sobre o pensamento intencional e o autônomo. Foi percebido também algumas similaridades e diferenças com a teoria do desenvolvimento cognitivo de Piaget. Portanto, nesse artigo, os autores procuraram realizar algumas reflexões sobre as pesquisas defendidas por Balacheff e van Hiele, evidenciando alguns aspectos importantes citados por eles, destacando sucintamente as suas bases epistemológicas e estabelecendo algumas relações entre os níveis de pensamento geométrico e os tipos de prova e as demonstrações matemáticas.

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