In this paper we prove the exponential decay of the energy for the high-order Kadomtsev-Petviashvili II equation with localized damping. To do that, we use the classical dissipation-observability method and a unique continuation principle introduced by Bourgain in [3] here extended for the highorder Kadomtsev-Petviashvili. A similar result is also obtained for the twodimensional Zakharov-Kuznetsov (ZK)equation. The method of proof works better for the ZK equation, so we were led to make some subtle modifications on it to include KP type equations. In fact, to reach a key estimate we use an anisotropic Gagliardo-Nirenberg inequality to drop the y-derivative of the norm.

Agradecimentospresente trabalho só foi possível graças ao apoio de algumas instituições e ao estimulo de algumas pessoas a quem devo uma palaua de reconhecimento: Dentre mais, meu orientador, Jaime Angulo Pava, cujos preciosos ensinamentos, incentivos, sugestões e críticas marcaram decisivamente estas páginas. Aos professores Hebe A. Biagioni (em memória), José Felipe Linares Ramirez (também pelas inestimáveis sugestões) e Márcia A. que juntamente com meu orientador, contribuíram na minha preparação para desenvolver esse trabalho. Aos membros da banca examinadora, pelas críticas e sugestões após leitura detalhada e investigativa da primeira versão, que certamente enriqueceram esta versão final. Aos professores responsáveis por minha formação básica, da UFV e da UNICAMP, em especial ao prof. Olimpio Hiroshi Miyagaki, meu orientador de iniciação científica, pelo constante incentivo, exemplo de vida e dedicação profissional a ser seguido. Aos amigos prof. recém-doutores Xavier Carvajal, Mahendra Panthee, Borys Alvarez e Adán Corcho, pelas importantes sugestões e observações, além das muitas interações que esclareceram várias de minhas dúvidas. Aos colegas Amauri Barros, Luciana Mendonça e Lynnyngs Kelly, pelo companheirismo acadêmico e sincera amizade. A Ricardo Menezes, Rogério Casagrande, Weber, Mercio Botelho e demais colegas que me ajudaram no preparo deste trabalho, instalando em meu computador os programas necessários e auxiliando-me na confecção das figuras e gráficos. Também aos muitos outros amigos que aqui fiz, pelos momentos de descontração, pela troca de idéias e saudável convívio.Ao CNPq pelos quatro anos de generoso apoio financeiro, e ao IMECC-UNICAMP por ter-me incluindo entre seus discentes com todos os benefícios e estrutura possíveis.Gostaria também de registrar meu profundo agradecimento e homenagem a todos os idealizadores das teorias de que fiz uso aqui. i v A todos aqueles que nos momentos mais difíceis de minha vida me ofereceram abrigo e/ou ajuda financeira, permitindo assim, que eu continuasse a estudar: os amigos Marcos Silva e Nídia e Chagas, Carlos e Lúcia, Eclache aem:11s amigos de Viçosa); meus avós, meus tios Josimar, Assunção, Francisca e Maria de Jesus Campelo" Também agradeço ao Instituto Adventista de Ensino do Nordeste (IAENE) juntamente com os professores e funcionários da época em que estudei, pelos mesmos motivos acima" Finalmente, gostaria de expressar minha gratidão a meus pais (em memória), pelo amor e educação que deles recebi, apesar do pouco tempo que tivemos" v LOCAL 4.1 Resultados Preliminares. 4.2 Demonstração do Teorema 4.2. 5 MÁ COLOCAÇÃO 5.1 Má Colocação para o PVI associado à equação NLS não-locaL 5.1.1 Prova do Teorema 5.L . 5.1.2 Prova da Proposição 5.2. 5.2 Má Colocação para o PVI associado à equação INLS não-locaL .

We establish local well-posedness for small initial data in the usual Sobolev spaces H s (R), s 1, and global well-posedness in H 1 (R), for the Cauchy problem associated to the nonlocal nonlinear Schrödinger equationwhere u = u(x, t), x, t ∈ R, T h is a singular integral operator, α > 0, β 0 and γ 0 are real constants. Our method of proof is based on the smoothing effects produced by the linear Schrödinger equation.

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