Важливу роль у вирішенні тривимірних задач теорії пружності грають асимптотичні мето ди. У рішенні проблеми граничного переходу від тривимірних задач до двовимірних для пружних оболонок особливе місце займає метод асимпто тичного інтегрування тривимірних рівнянь тео рії пружності. На основі методу асимптотичного інтегрування рівнянь теорії пружності вивчаєть ся осісиметрична задача теорії пружності для радіальнонеоднорідного циліндра малої товщи ни. Розглядається випадок, коли модулі пруж ності змінюються по радіусу за лінійним зако ном. Передбачається, що бічна частина циліндра вільна від напружень, а на торцях циліндра зада ні граничні умови, що залишають циліндр в рівно вазі. Сформульована крайова задача зводиться до спектральної задачі. Вивчається поведінка рішень спектральної задачі як у внутрішній частині циліндра, так і поблизу торців циліндра при праг ненні до нуля параметра тонкостінних циліндра. Отримано три групи рішень і роз'яснено харак тер побудованих однорідних рішень. Рішення, від повідне першому ітераційному процесу, визна чає проникаючий напруженодеформований стан циліндра. Рішення, відповідне другому ітераційно го процесу, являє собою крайові ефекти в приклад ній теорії оболонок. Третій ітераційний процес визначає рішення, яке має характер погранич ного шару. Рішення, відповідне першому і друго му ітераційним процесам, визначає внутрішній напружено деформований стан циліндра. У пер шому члені асимптотики їх можна розглядати як рішення з прикладної теорії оболонок. Показано, що напруженодеформований стан, як і у випад ку однорідного циліндра малої товщини, склада ється з трьох типів: проникаючого напруженого стану, простого крайового ефекту і пограничного шару. Розглянуто питання про задоволення гра ничних умов на торцях радіальнонеоднорідного циліндра з використанням варіаційного принципу ЛагранжаКлючові слова: радіальнонеоднорідний циліндр, асимптотичний метод, пограничний шар, крайо вий ефект, варіаційний принцип, головний вектор, власне значення UDC 539.3

A non-axisymmetric problem of the theory of elasticity for a radial inhomogeneous cylinder of small thickness is studied. It is assumed that the elastic moduli are arbitrary positive piecewise continuous functions of a variable along the radius. Using the method of asymptotic integration of the equations of the theory of elasticity, based on three iterative processes, a qualitative analysis of the stress-strain state of a radial inhomogeneous cylinder is carried out. On the basis of the first iterative process of the method of asymptotic integration of the equations of the theory of elasticity, particular solutions of the equilibrium equations are constructed in the case when a smooth load is specified on the lateral surface of the cylinder. An algorithm for constructing partial solutions of the equilibrium equations for special types of loads, the lateral surface of which is loaded by forces polynomially dependent on the axial coordinate, is carried out. Homogeneous solutions are constructed, i.e., any solutions of the equilibrium equations that satisfy the condition of the absence of stresses on the lateral surfaces. It is shown that homogeneous solutions are composed of three types: penetrating solutions, solutions of the simple edge effect type, and boundary layer solutions. The nature of the stress-strain state is established. It is found that the penetrating solution and solutions having the character of the edge effect determine the internal stress-strain state of a radial inhomogeneous cylinder. Solutions that have the character of a boundary layer are localized at the ends of the cylinder and exponentially decrease with distance from the ends. These solutions are absent in applied shell theories. Based on the obtained asymptotic expansions of homogeneous solutions, it is possible to carry out estimates to determine the range of applicability of existing applied theories for cylindrical shells. Based on the constructed solutions, it is possible to propose a new refined applied theory.

No abstract

No abstract

No abstract