No abstract

Стаття присвячена розробці математичних моделей і вдосконаленню чисельних методів за рахунок збільшення деталізації модельованих систем для здійснення оптимізації технологічних процесів в умовах невизначеності. Характерною особливістю досліджень є поділ математичних моделей на розрахункові і прикладні оптимізаційні. За рахунок збільшення ітерацій з побудови і розв’язання крайових задач, які лежать в основі розрахункових математичних моделей, досягається збільшення точності реалізації основної оптимізаційної задачі підвищення якості технологічного процесу зварювання листового металу. У зв’язку зі специфічними особливостями досліджуваного процесу для доказу умов коректності крайових задач автори пропонують використати теорію диференціальних операторів в просторі узагальнених функцій. Основним завданням, яке поставлене в статті, є забезпечити моніторинг і контролінг в енергетичному менежменті для збільшення точності і швидкості реалізації технологічного процесу зварювання металу. Запропоновано методологічний підхід для розрахунку температури дії, оптимізації часу та енергетичних витрат. В його основу входять крайові задачі диференціальних рівнянь теплопровідності і наближені методи здійснення оптимізації. Оптимізація управляючих параметрів здійснена кроковим методом по вузлам рівномірної сітки. Для розрахунку відсотка пошкодження листового металу використали відношення об’єму пошкодженого матеріалу до об’єму всього матеріалу. Оптимізація часу та енергії термічної дії здійснюється до поки не буде досягнута задана точність оптимізації параметрів або не буде вичерпаний час, відведений на оптимізацію. На думку авторів статті, результати досліджень можливо використати для прогнозування і контролю можливих ризиків при розв’язанні багатьох прикладних задач економіко-математичного моделювання.

В статті вирішується низка задач оптимального управління технічними системами, які містять джерела фізичного навантаження. Через те, що для моделювання і оптимізації технологічних процесів в зазначених системах використовують нелокальні крайові задачі з диференціальними рівняннями в часткових похідних, ці системи відносяться до систем з розподіленими параметрами. Розв’язок диференціальних рівнянь з таких задач існує лише за стандартної форми об'єкта дослідження, відсутності багатошарової будови та, якщо не враховувати специфічні особливості процесу термічної дії. Для збільшення точності розрахунку і оптимізації технічних параметрів модельованих процесів потрібно розв’язати крайові задачі з некласичними диференціальними рівняннями. Використавши методи з теорії узагальнених функцій можливо обгрунтувати коректність зазначити крайових задач. Отже, потрібно визначити умови коректності крайових задач для конкретних видів диференціальних рівнянь. При оптимізації параметрів функції мети обгрунтування коректності крайових задач і прикладних оптимізаційних математичних моделей дозволить підвищити точність розрахунку і оптимізації параметрів модельованих систем. Врахувавши особливості процесу термічної дії на багатошаровий матеріал, авторами побудована нелокальна крайова задача системи диференціальних рівнянь теплопровідності. Застосувавши методи з теорії узагальнених функцій, обгрунтована коректність крайової задачі в просторах узагальнених функцій степеневого зростання. Для доказу умов існування єдиного розв’язку, авторами перевірені умови обмеження на фундаментальну функцію розв'язків в зазначених просторах. Запропоновану в статті методику доцільно застосувати для розв'язання прикладних задач з розрахунку і оптимізації технічних, біотехнологічних, економічних і транспортних систем.

In the theory of analysis and synthesis of technical systems, mathematical modelling and optimization of multilayer systems containing sources of physical fields occupy an important place. This is due to the fact that their state is described by means of boundary value problems with multidimensional differential equations. To solve the boundary value problems and implement the process of optimizing the technical parameters of the modelled systems, it is necessary to conduct interdisciplinary studies of computational and applied optimization mathematical models. Fulfilment of the conditions for the existence of a single solution to boundary value problems by default is possible only when the object of study is a single-layer material under the action of load sources. If it is necessary to calculate and optimize the technical parameters of a multilayer material subjected to load sources, then it is impossible to immediately guarantee the correctness of the calculated and applied optimization mathematical models, since it is necessary to obtain the conditions for the existence and uniqueness of solutions to boundary value problems with systems of differential equations. Maximizing the technical parameters of load sources and averaging the characteristics of material layers will lead to approximate values of the objective function and technical parameters of the modelled system, which leads to irrational consumption of energy and heat resources and uncontrolled losses, and useless losses of the test material in the technological process. The article presents the conditions for the correctness of multipoint boundary value problems with multidimensional differential equations describing the state of a multilayer material under thermal action. It is advisable to use these studies to substantiate the correctness of other technical and biotechnological systems, which will increase the accuracy of the implementation of applied optimization problems of economic and mathematical modelling.