A Pareto-based multi-objective evolutionary approach to the identification of Mamdani fuzzy systems

Abstract

In the last years, the numerous successful applications of fuzzy rule-based systems (FRBSs) to several different domains have produced a considerable interest in methods to generate FRBSs from data. Most of the methods proposed in the literature, however, focus on performance maximization and omit to consider FRBS comprehensibility. Only recently, the problem of finding the right trade-off between performance and comprehensibility, in spite of the original nature of fuzzy logic, has arisen a growing interest in methods which take both the aspects into account. In this paper, we propose a Pareto-based multi-objective evolutionary approach to generate a set of Mamdani fuzzy systems from numerical data. We adopt a variant of the well-known (2+2) Pareto Archived Evolutionary Strategy ((2+2)PAES), which adopts the one-point crossover and two appropriately defined mutation operators. (2+2)PAES determines an approximation of the optimal Pareto front by concurrently minimizing the root mean squared error and the complexity. Complexity is measured as sum of the conditions which compose the antecedents of the rules included in the FRBS. Thus, low values of complexity correspond to Mamdani fuzzy systems characterized by a low number of rules and a low number of input variables really used in each rule. This ensures a high comprehensibility of the systems. We tested our version of (2+2)PAES on three well-known regression benchmarks, namely the Box and Jenkins Gas Furnace, the Mackey-Glass chaotic time series and Lorenz attractor time series datasets. To show the good characteristics of our approach, we compare the Pareto fronts produced by the (2+2)PAES with the ones obtained by applying a heuristic approach based on SVD-QR decomposition and four different multi-objective evolutionary algorithms.

An evolutionary method to generate Mamdani rule-based systems with hedge algebra based semantics for regression problems

“…Hệ luật mờ (FRBS: Fuzzy Rule-Based System) đã có những ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: điều khiển [9], phân lớp [1, 2,3] và hồi qui [5,6,7,8]. Nhiều kiểu hệ mờ khác nhau đã được đề xuất, tuy nhiên hệ luật mờ dạng Mamdani (MFRBS) có vai trò trội hơn các dạng khác nhờ MFRBS được định nghĩa bằng các mệnh đề if-then tương tự trong ngôn ngữ tự nhiên [8].…”

“…Yếu tố 1) dễ dàng đạt được nếu sử dụng phân hoạch mờ đều với các tập mờ tam giác biểu thị ngữ nghĩa của các nhãn ngôn ngữ được gán với chúng [3,6]. Tuy nhiên sử dụng phân hoạch đều thường làm giảm độ chính xác của hệ luật.…”

“…Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất thuật toán HA-(2+2)M-PAES xây dựng MFRBS dựa trên phương pháp luận của ĐSGT và lược đồ tiến hóa (2+2)M-PAES ((2+2)Modify-Pareto Archive Evolution Strategy) đề xuất trong [6] giải bài toán hồi qui đạt được sự cân bằng giữa độ chính xác và các yếu tố 1) và 2). Để thỏa mãn yếu tố 1) chúng tôi sử dụng phân hoạch mờ được xây dựng dựa trên tập từ ngôn ngữ được sinh ra bằng ĐSGT.…”

“…Dựa trên cấu trúc mã hóa chúng ta thiết kế các toán tử lai ghép, đột biến nhằm tìm kiếm lời giải tốt hơn sau mỗi thế hệ. Trong [8] phát triển thuật toán (2+2)M-PAES(I) và (2+2)M-PAES(C) dựa trện lược đồ tiến hóa (2+2)M-PAES đề xuất trong [6]. Để thực hiện học đồng thời cơ sở luật, phân hoạch mờ và điều chỉnh ngữ nghĩa của nhãn ngôn ngữ, các tác giả thực hiện mã hóa cá thể gồm 3 phần: cơ sở luật, phân hoạch mờ, hàm tuyến tính từng khúc.…”

“…Trong phần này trình bầy những bước cơ bản của thuật toán HA-(2+2)M-PAES được phát triển dựa trên lược đồ tiên hóa (2+2)M-PAES đề xuất trong [6]. Mục tiêu của thuật toán là xây dựng một mặt xấp xỉ tối ưu Pareto với mỗi điểm là một cá thể với 2 mục tiêu M SE và Comp.…”