Álgebras de Clifford e de Cayley-Dickson

Abstract

Agradeço, em primeiro lugar, a minha queria e amada mãe, Maria Aparecida Marchi Baldo, que já não pertence mais a este plano material, mas vive num plano extracorpóreo muito mais amplo e sublime, que me proporcionou chegar até aqui e cujo apoio e carinho nunca poderei retribuir. Agradeço a minha família pelo apoio, ao meu orientador, o professor Dr. Jayme Vaz Jr., por ter aceitado supervisionar meus estudos, pela paciência e pelas dicas que ajudaram a melhorar minha dissertação, ao professor Dr. Cristiano Torezzan por ter-me esclarecido várias questões que brotaram ao longo deste mestrado e também a todos os professores e funcionários do IMECC pela atenção e estima. ResumoNeste trabalho, estudamos de maneira geral os números hipercomplexos, com especial atenção para os complexos, os quaternions e os octonions. Estudamos as álgebras de Cayley-Dickson, expondo suas principais propriedades, e, de forma muito breve, algumas outras álgebras hipercomplexas, e.g., os split-complexos, os split-quaternions e os split-octonions. Seguimos introduzindo as álgebras de Clifford associadas a K-espaços quadráticos (V, Φ) (char(K) = 2), enfatizando as álgebras de Clifford dos espaços quadráticos reais (R p,q , Φ p,q ), Cl p,q , dando a completa classificação dessas álgebras utilizando resultados como o teorema de periodicidade de Cartan-Bott. Também discorremos brevemente sobre representações de álgebras de Clifford e introduzimos os grupos de Clifford-Lipschitz, Pin e Spin. No último capítulo, após termos dissertado acerca da teoria clássica e dos aspectos fundamentais das álgebras de Clifford reais e das de Cayley-Dickson, mostramos que, deveras, essas duas álgebras emergem duma mesma estrutura algébrica mais fundamental, que chamamos de álgebra quaterniônica generalizada e ampliada, e a denotamos por U n−1 (γ n ).