Análise e implementação de métodos implícitos e de projeção para escoamentos com superfície livre.

Abstract

Finalmente, e acima de tudo, a Deus pela minha vida.iii iv ResumoNo contexto do método MAC e baseado em esquemas de diferenças nitas, este trabalho apresenta três estudos: i) uma análise de estabilidade, ii) o desenvolvimento de técnicas implícitas e, iii) a construção de métodos de projeção para escoamentos com superfície livre.Na análise de estabilidade, o principal resultado mostra que o método de Crank-Nicolson torna-se condicionalmente estável quando aplicado para uma malha deslocada com a discretização explícita das condições de contorno do tipo Dirichlet. Entretanto, o mesmo método com condições de contorno implícitas é incondicionalmente estável.Para obter métodos mais estáveis, formulações implícitas são desenvolvidas para a equação da pressão na superfície livre, derivada da condição de tensão normal. Esta estratégia resulta no acoplamento dos campos de velocidade e pressão, o que exige a introdução de novos métodos de projeção.Os métodos de projeção assim desenvolvidos resultam em novas metodologias para escoamentos com superfície livre que são apropriados para o tratamento de problemas com baixo número de Reynolds. Além disso, mostra-se que os métodos propostos podem ser aplicados para uidos viscoelásticos. Novas estratégias são derivadas para obter métodos de projeção de segunda ordem de precisão para escoamentos com superfícies livres.Além dos resultados teóricos sobre a estabilidade de esquemas numéricos, técnicas implícitas e métodos de projeção, testes computacionais são realizados e comparados para consolidação da teoria apresentada. Os resultados numéricos são obtidos no sistema FREEFLOW.A eciência e robustez das técnicas desenvolvidas neste trabalho são demonstradas na solução de problemas tridimensionais complexos com superfície livre e baixo número de Reynolds, incluindo os problemas do jato oscilante e do inchamento do extrudado. In the context of the MAC method and based on nite dierence schemes, this work presents three studies: i) a stability analysis, ii) the development of implicit techniques, and iii) the construction of projection methods for free surface ows.In the stability analysis, the main result shows a precise stability restriction on the CrankNicolson method when one uses a staggered grid with Dirichlet explicit boundary conditions. However, the same method with implicit boundary conditions becomes unconditionally stable.In order to obtain more stable methods, implicit formulations are applied for the pressure equation at the free surface, which is derived from the normal stress condition. This approach results in a coupling of the velocity and pressure elds; hence new projection methods for free surface ows need to be developed.The developed projection methods result in new methodologies for low Reynolds number free surface ows. It is also shown that the proposed methods can be applied for viscoelastic uids. New strategies are derived for obtaining second-order accurate projection methods for free surface ows.In addition to the theoretical results on the stability of numeri...

Desenvolvimento de um método numérico implícito para a simulação de escoamentos viscoelásticos com superfícies livres

“…Assim, para que se possa marchar no tempo com passos maiores, não basta resolver a equação de conservação do momento por um método implícito: também é necessário tratar a condição de fronteira para a pressão na superfície livre implicitamente ( [OC04], [OC06], [OC08B]), o que conduz a um novo acoplamento entre velocidade e pressão.…”

“…Para escoamentos con…nados, isto se restringe a separar os processos de solução das equações de conservação, permitindo determinar os campos de velocidade e de pressão de forma segregada. Já nos escoamentos com superfície livre, resultados consequentes do processo de projeção são usados de forma bastante elegante, possibilitando eliminar, também, o acoplamento entre velocidade e pressão advindo do tratamento implícito da condição de contorno na superfície livre ( [OC04], [OC06], [OC08B]). …”

“…Conforme já adiantamos, o caso de escoamentos newtonianos com superfície livre foi considerado em [OC04], [OC06] e [OC08B], onde é proposta, seguindo a metodologia GENSMAC, uma estratégia implícita, que resolve as equações desacopladas, eliminando a restrição de estabilidade parabólica ao passo temporal.…”

“…Tal estudo pôde ser particionado em duas etapas consecutivas, que se enquadram, respectivamente, na segunda e na primeira linhas de expansões do GENSMAC, citadas inicialmente: xxv Embora bastante robusta se comparada à FE, a FI inicial ainda mostrava de…ciências, sugerindo a necessidade de que certos aprimoramentos fossem realizados a …m de torná-la ainda mais precisa e e…ciente. Alguns desses aperfeiçoamentos, como o tratamento das condições de contorno rígido na solução da equação do momento ( [OC08A]), a adoção de uma equação para atualização do campo de pressão (baseada em [BR01]) coerente com a discretização semi-implícita da equação do momento e testes para a obtenção de métodos de projeção de segunda ordem no tempo para escoamentos com superfície livre já haviam sido tratados em [OC08B].…”

“…Já na FI, é a própria condição de contorno para a pressão na superfície livre que é usada como condição de contorno na solução da equação de Poisson, resultando na equação (2.3.22) para n+1 em células S. Dessa maneira, a FI do GENSMAC ( [OC04], [OC06], [OC08B]), estabelecida nos Passos 1-FI, 2-FI, 3, 4-FI e 5, elimina a restrição de estabilidade parabólica em escoamentos com superfície livre, possibilitando um aumento considerável no passo temporal e uma redução signi…cativa do custo computacional, especialmente em escoamentos a baixos Reynolds.…”