Arithmetic applications of the Euler systems of Beilinson-Flach elements and diagonal cycles

Abstract

The main objective of this dissertation is the exploration of certain arithmetic applications of the Euler systems of Beilinson--Flach elements and diagonal cycles. Euler systems have been proved to be a very powerful tool for the study of Iwasawa theory and Selmer groups. Roughly speaking, they are collections of Galois cohomology classes satisfying certain compatibility relations, and are typically constructed using the étale cohomology of algebraic varieties. The genesis of the concept comes from Kolyvagin, who used them to fully prove the Birch and Swinnerton--Dyer conjecture in analytic rank one, and also from Rubin, who proposed a systematic framework to understand this cohomological tool. In the last years, many new constructions and results around these Euler systems have been obtained, and the aim of this thesis is to look at some of their arithmetic applications towards exceptional zeros, special value formulas, and Eisenstein congruences.
 The first chapters deal with different kinds of exceptional zero phenomena. The main result we obtain is the proof of a conjecture of Darmon, Lauder and Rotger on special values of the Hida--Rankin p-adic L-function, which may be regarded both as the proof of a Gross--Stark type conjecture, or as the determination of the L-invariant corresponding to the adjoint representation of a weight one modular form. The proof recasts to Hida theory and to the ideas developed by Greenberg--Stevens, and makes use of the Galois deformation techniques introduced by Bellaïche and Dimitrov. We further discuss a similar exceptional zero phenomenon from the Euler system side, leading us to the construction of derived Beilinson--Flach classes. This allows us to give a more conceptual proof of the previous result, using the underlying properties of this Euler system. We also discuss other instances of this formalism, studying exceptional zeros at the level of cohomology classes both in the scenario of elliptic units and diagonal cycles.
 The last part of the thesis aims to start a systematic study of the Artin formalism for Euler systems. This relies on ideas regarding factorizations of p-adic $L$-functions, and also recasts to the theory of Perrin-Riou maps and the study of canonical periods attached to weight two modular forms. We hope that these results could be extended to different settings concerning the other Euler systems studied in this memoir. Aquesta tesi estudia algunes aplicacions a problemes aritmètics dels anomenats sistemes d'Euler, que són classes de cohomologia galoisiana que varien de forma compatible sobre torres de cossos. Seguint una filosofia força general introduïda per Perrin-Riou, la imatge d'aquests sistemes d'Euler sota certs reguladors ens permet recuperar la funció L p-àdica associada a una representació de Galois. En aquesta tesi ens centrem fonamentalment en els sistemes de Beilinson-Flach i de cicles diagonals, tot i que també estudiem altres que comparteixen propietats amb els anteriors i que ens ajuden a una millor comprensió dels mateixos. Recordem que diferents treballs a la darrera dècada ja havíem aconseguit, mitjançant aquests sistemes d’Euler, provar nous casos de la conjectura equivariant de Birch i Swinnerton-Dyer, un dels grans reptes matemàtics dels nostres temps. Les aplicacions aritmètiques que discutim en aquesta monografia són diverses: zeros excepcionals, fórmules de valors especials, resultats de no anul·lació, connexions amb la teoria d’Iwasawa... Els primers capítols de la tesi estudien un fenomen de zeros excepcionals. Recordi’s que les funcions L p-àdiques interpolen, al llarg d’una certa regió, valors de la funció L complexa, llevat de certs factors d’Euler. L’anul·lació d’aquests factors acostuma donar lloc a fenòmens aritmètics interessants. Això, lluny de ser casual, admet una interpretació algebraica en termes de grups de Selmer. Per exemple, la anul·lació en s=0 de la funció de KubotaLeopoldt es relaciona amb el fet que hi hagi una p-unitat extra a la corresponent component del grup d’unitats, i el seu logaritme es relaciona amb la derivada de la funció L p-àdica. Aquesta és una de les conjectures més conegudes de Gross. Aquí comencem estudiant el cas de la representació adjunta d’una forma modular de pes 1. En aquest cas, provem una conjectura de Darmon, Lauder i Rotger que expressa el valor de la derivada de la funció L p-àdica associada en termes d’una combinació de logaritmes de unitats i p-unitats en el cos retallat per la representació. La prova fa servir la teoria de funcions L p-àdiques i funcions L p-àdiques millorades, així com les deformacions de Galois. A més, observem un fenomen que complementa aquest estudi. Les funcions L p-àdiques que hi surten són la imatge del sistema d’Euler de Beilinson-Flach pel morfisme de Perrin-Riou. Aquests zeros excepcionals també s’observen a nivell de sistemes d’Euler, i un pot introduir un concepte de classe derivada que ens permet recuperar l’invariant L que controla l’aritmètica de la representació galoisiana. No només això: amb aquesta noció de derivada podem donar una demostració alternativa del resultat anterior explotant la geometria d’aquests sistemes. Aquesta primera part de la tesi es complementa amb dos capítols on treballem el fenomen de zeros excepcionals tant per a unitats el·líptiques com per a cicles diagonals. Els últims capítols s’endinsen en l’estudi d’altres qüestions al voltant dels sistemes d’Euler, i es comença amb el desenvolupament d’un formalisme d’Artin a nivell de classes de cohomologia. El cas més bàsic passa per considerar una forma pròpia cuspidal de pes 2, de manera que sigui congruent a una sèrie d’Eisenstein. La classe de cohomologia associada a f descompon com la suma de dues components mòdul p. Nosaltres suggerim congruències relacionant cadascuna d’elles amb expressions que involucren unitats circulars. Això fa servir, per una banda, factoritzacions de funcions L p-àdiques i les lleis de reciprocitats; per l’altra, recuperarem alguns resultats de Fukaya-Kato desenvolupats durant la prova de les conjectures de Sharifi.