Aspectos geométricos dos espaços Co(K,X)

Abstract

The goal of this work is twofold. First, we study the complemented copies of c 0 (τ) in Banach spaces, where τ is an innite cardinal. We extend to the uncountable case a classical result by T. Schulmprecht that characterizes the complemented copies of c 0 in a Banach space X. We use this new characterization to extend results by G. Emmanuele, F. Bombal, D. Leung and F. Räbiger concerning the complemented copies of c 0 in the classical Banach spaces p (I, X), where p ∈ [1, ∞] and I is a non-empty set. We also obtain a new result involving the complemented copies of c 0 (τ) in C 0 (K, X) spaces, where K is a locally compact Hausdor space. Next, we turn our attention to a vector-valued extension of the classical Banach-Stone theorem obtained by K. Jarosz. Studying several constants introduced by R. James, J. Schäffer, M. Baronti, E. Casini and P. Pappini, we obtain a new relationship between the moduli of convexity of X and X * , which has independent interest. We then apply this relationship to prove a new X-valued generalization of the Banach-Stone theorem that simultaneously extends the aforementioned result by Jarosz and also shows that this result is, in fact, a consequence of a theorem obtained recently by F. Cidral, E. Galego and M. Rincón-Villamizar. Keywords: c 0 (τ) spaces, C 0 (K, X) spaces, complemented copies, generalization of the Banach-Stone theorem, James constant, moduli of convexity of a Banach space and its dual. v vi xiv INTRODUÇÃO Lidando com esses problemas, provaremos também uma nova conexão entre os módulos de convexidade de X e de X * (Teorema 6.15), que possui interesse independente. No Capítulo 1 recordamos denições e resultados preliminares e xamos a notação utilizada no decorrer do trabalho. Estudamos brevemente os conceitos de cópias e cópias complementadas de espaços de Banach, somas arbitrárias de números reais, medidas e integração vetoriais e famílias fracamente nulas, fraca *-nulas e fracamente incondicionalmente somáveis em espaços de Banach. Também vamos recordar as principais propriedades dos espaços p (I, X), C 0 (K, X) e c 0 (τ), que serão nossos objetos de estudo nos capítulos posteriores. No Capítulo 2 iniciamos o estudo das cópias complementadas de c 0 (τ) em espaços de Banach. Como mencionamos, o objetivo desse capítulo é provar o Teorema 2.4, que caracteriza as cópias complementadas de c 0 (τ) em um espaço de Banach X em termos de uma família equivalente à base canônica de c 0 (τ) em X e de uma família fraca *-nula no dual de X. Este resultado estende ao caso não-enumerável um resultado obtido por T. Schlumprecht em [42] envolvendo as cópias complementadas de c 0. Colhemos os frutos do Teorema 2.4 nos Capítulos 3, 4 e 5. Estudamos a relação entre as cópias complementadas de c 0 (τ) em X e nos espaços C 0 (K, X), p (I, X) (p ∈ [1, ∞)), e ∞ (I, X), respectivamente. Finalmente, o Capítulo 6 é dedicado à análise de algumas extensões vetoriais do Teorema de Banach-Stone. Vamos estudar a relação entre diversos parâmetros introduzidos por R. James, J. Schäer, M. Baronti, E. Cas...