Commuting graphs of some subsets in simple rings

On C-commuting graph of matrix algebra

“…Note that the {0}−Commuting graph of M n (D) is the commuting graph of M n (D) that was defined in [1]. Now, we are going to establish basic properties of this graph.…”

“…Let D be a division ring and M n (D) be the set of all n × n matrices over D. As is defined in [1] there are an invertible matrix P and integers k and m so that (P −1 AP ) ij = 0, for all i and j with k + 1 i n and 1 j m.…”

On diameters estimations of the commuting graphs of Sylow $p$-subgroups of the symmetric groups

“…Гипотеза о существовании ограничения на величину диаметров графов коммутатив-ности косвенно подтверждалась наличием такого предела в классах многих конечных групп [2], [3], [4], а также ограниченностью диаметров соответствующих графов для сим-метрических групп [6]. Аналогичная ситуация возникает при изучении p-групп: диаме-тры графов коммутативности силовских p-подгрупп симметрических групп не превы-шают 4 (теоремы 3 и 4), но при этом все подгруппы бесконечной серии (предложен-ной в [7]) с возрастающими диаметрами являются 2-группами (нильпотентыми класса 2).…”

“…Следует заметить, что аналогичное утверждение в классе полугрупп тоже неверно, т. е. суще-ствуют полугруппы со связными графами коммутативности как угодно большого диа-метра [5]. Критерии связности графов коммутативности, а также оценки диаметров свя-зных графов представлены, например, в [6] (для симметрических и знакопеременных групп), [2], [3], [4] (для некоторых классов линейных групп).…”

Diameters of conneted components of commuting graphs

“…Recently, the interplay between various algebraic structures and their commuting graphs has been studied, see e.g., [1,2,3,5,6,7,8,9]. For example, it was recently proved in [8] that a ring is isomorphic to the full matrix ring of 2 × 2 matrices over a finite field if and only if their commuting graphs are isomorphic.…”