Comportamento Inesperado da Derivada Fracionária de Caputo

Abstract

Resumo: Neste trabalho, com o intuito de analisar a modelagem feita com equações diferenciais fracionárias no sentido de Caputo, analisamos, a partir da generalização fracionária do oscilador harmônico fracionário e da primeira equação diferencial de Malthus, o comportamento da derivada fracionária de Caputo com ordem 0 < α ≤ 1 e com ordem 1 < β ≤ 2. Um comportamento, em princípio, inesperado das soluçõesé discutido. Por fim, analisamos a eventual aplicabilidade desta análise para interpretar fisicamente a derivada fracionária. IntroduçãoObter uma equação diferencial cuja solução descreva bem a realidade, traz consigo uma enorme dificuldade, uma vez que quanto mais próximos estamos de descrever perfeitamente um problema real maiores costumam ser o número de variáveis envolvidas e a complexidade das equações.Neste sentido, o cálculo de ordem não-inteira, tradicionalmente conhecido como fracionário 1 , queé o ramo da matemática que se dedica ao estudo de integrais e derivadas de ordens não inteiras, vem desempenhado um papel de grande destaque. São inúmeros os problemas que, quando descritos em termos de equações diferenciais de ordem não inteira, oferecem uma descrição mais precisa da realidade [2,3,4,5,9,10]. Têm destaque os fenômenos que possuem dependência temporal, uma vez que as derivadas fracionárias são operadores não locais, que descrevem com grande precisão os assim chamados efeitos de memória [3,9].A forma usual de se utilizar a modelagem fracionária consiste em substituir a derivada de ordem inteira, presente na equação diferencial do modelo estudado, por uma derivada fracionária, normalmente de ordem menor que ou igual a do modelo, de forma que a solução inteira seja recuperada como caso particular [3]. Este procedimento foi recentemente utilizado para generalizar a conhecida equação logística de Pierre François Verhulst [13]. Verificou-se que a solução da correspondente versão fracionária descreve com maior precisão o crescimento de determinados tipos de tumor de câncer [12].Provavelmente, o exemplo mais conhecido da eficiência deste processo seja o do oscilador harmônico fracionário [6]. De fato, ao substituir a derivada de ordem dois, presente no modelo 1 De fato, o nome cálculo fracionário nãoé o mais preciso já que a derivada pode ser de ordem real e até mesmo complexa, entretanto por tradição este nome aindaé o mais utilizado.