Control of Nonlinear Dynamic Models of Predator-Prey Type

Abstract

In the ecological context, a large class of population dynamics models can be written as dynamical systems of one or two variables, i.e., each variable represents a population density of a species. When one or more species is removed from the system (harvested), it is necessary to introduce a control (harvest policy) in order to avoid the extinction of species, due to harvesting. A threshold policy (TP) and a threshold policy with hysteresis (TPH) reviewed and discussed in this paper can be used to avoid the collapse of population densities, governed by predator-prey models. A threshold policy changes the dynamics of a predator-prey dynamical system in such a way that a stable positive equilibrium point is achieved. In other words, coexistence of both species occurs. A threshold policy with hysteresis changes the dynamics so that a limit cycle (bounded oscillation) is achieved, i.e., coexistence of species with a bounded oscillation in population densities occurs. This paper studies the continuous and discrete logistic model for one species and the Lotka-Volterra and RosenzweigMacArthur models for two species. The TP and TPH are seen to be versatile and useful in renewable resources management, being simple to design and implement, with some advantages in a situation of overexploitation, as well as in the presence of different types of uncertainties. The design of the policies is carried out by appropriate choice of virtual equilibria in a simple and intuitive manner, and the mathematics used is simple. Keywords: Nonlinear predator-prey models; threshold policy; threshold policy with hysteresis. RESUMO CONTROLE DE MODELOS DINÂMICOS NÃO LINEARES DO TIPO PREDADOR-PRESA.No contexto ecológico, uma ampla classe de modelos de dinâmica populacional pode ser escrita como sistemas dinâmicos não lineares em uma ou duas variáveis, i.e., cada variável representa uma densidade populacional de uma espécie. Quando uma ou mais espécies são removidas do sistema (colheita), é necessário introduzir um controle (política de colheita) para evitar a extinção das espécies devido à colheita. Uma política de limiar (TP do inglês) e uma política de limiar com histerese (TPH do inglês) revisadas e discutidas neste artigo podem ser utilizadas para evitar o colapso das densidades populacionais governadas pelos modelos do tipo predadorpresa. Uma política de limiar muda a dinâmica de um sistema predador-presa de maneira que um ponto de equilíbrio positivo estável é alcançado. Em outras palavras, permite a coexistência das espécies. Uma política de limiar com histerese muda a dinâmica de maneira que um ciclo limite é alcançado (oscilação limitada), isto é, ocorre a coexistência das espécies com oscilação limitada nas densidades populacionais. Este artigo estuda o modelo logístico contínuo e discreto de uma espécie e os modelos Lotka-Volterra e Rosenzweig-MacArthur de duas espécies. A TP e a TPH parecem ser versáteis e úteis na gestão de recursos renováveis , sendo simples para projetar e implementar, com algumas vantagens em uma situaç...

Mathematical Models in Ecological Theory: A Review by Brazilian Researchers on Its Current Status and Perspectives

“…An introduction to the theory of dynamic systems is then presented by Baaba Ghansa, Paulo José Almeida, Carlos Frederico Palmeira and Lucas Faria, presenting four different models of populations under different functional responses, analyzing the stability of theses systems to understand the possibilities of a sustainable use under these scenarios (Ghansa et al 2012). Amit Bhaya and Magno Enrique Mendoza Meza review two classes of mechanisms that allow stability in predator-prey dynamic systems, named "threshold policy" or "threshold policy with hysteresis" (Bhaya & Meza 2012). The applications of these mechanisms (or policies) of renewable natural resource management is discussed.…”