Derivations on Polynomial Rings and the Darboux Polynomials

Abstract

Resumo: Este trabalhoé um breve estudo sobre as derivações em anéis polinomiais e os polinômios de Darboux. Os dois resultados mais relevantes são a caracterização dos polinômios de Darboux lineares de qualquer derivação linear em n variáveis e o resultado de que toda derivação homogênea em duas variáveis tem polinômio de Darboux.Palavras-chave: derivações; derivações homogêneas; polinômio de Darboux.Abstract: This work is a brief study about derivations in polynomial rings and Darboux polynomials. The two most relevant results are the characterization of the linear Darboux polynomials of any linear derivation in n variables and the result that all homogeneous derivation in two variables have Darboux polynomial.Key words: derivations; homogeneous derivation; Darboux polynomial. IntroduçãoAo ouvir a palavra derivação somos imediatamente remetidosàs ideias de Newton e Leibniz relativas ao estudo de tangentes e taxas de variação instantânea de funções. Porém, o conceito de derivação abordado neste textoé mais amplo, uma extensão do operador derivação para qualquer estrutura de anel. Contudo, coincide com a derivada ordinária sobre o anel de polinômios em uma variável.Em um trabalho sobre Equações Diferenciais, em 1878, no artigo "Mémoire sur leś equations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré", o matemático Jean Gaston Darboux introduziu uma nova abordagem algorítmica para solução de algumas dessas ED's, na qual surgem os polinômios de Darboux. Esses polinômios apareceram como "pedaços" ou partes dos fatores integrantes para a solução de algumas ED's, como mostrado em [1]:"Paralelamente, Darboux, em 1878, deu os primeiros passos para determinar algoritmicamente integrais primeiras, baseando o seu método em uma ligação entre a geometria algébrica e a busca dessas integrais. Ele mostrou como construir