Dynamic properties of the local linearization method for initial-value problems

Construcción y estudio de códigos adaptativos de linealización local para ecuaciones diferenciales ordinarias

“…El método clásico de Linealización Local [15,16] se basa en aproximar en cada paso el campo vectorial de (1) mediante la expansión de Taylor de primer orden, para luego resolver exactamente la ecuación lineal resultante. Más precisamente, si A n y(t) + a n (t) denota la aproximación de Taylor de primer orden de f en una vecindad de (t n , y n ), donde A n = f x (t n , y n ) y a n (t) = f t (t n , y n )(t − t n ) + f (t n , y n ) − A n y n , entonces la solución de la ecuación…”

“…El comportamiento asintótico esperado para los valores de r h se ha estudiado para los esquemas LL2(6, 6) y LLRK4(6, 6) en [15] y [9] y para los esquemas de Runge Kutta en [1]. Estos valores están dados por r h ≈ 4 para los métodos de orden de convergencia cuatro y por r h ≈ 2 para los de orden dos.…”

“…Los esquemas de Linealización Local (LL) [15,16] y de Linealización Local de Orden Superior (LLOS) [6,7] forman parte de los llamados integradores exponenciales [5,12,13] para la solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), los cuales tienen en común el cálculo de una exponencial matricial en cada paso. En general, el desarrollo de esta clase de métodos ha sido estimulado por su capacidad para preservar numerosas propiedades dinámicas de las EDO con tamaños de pasos mucho mayores que los integradores explícitos y con menor costo computacional que los implícitos [9].…”

“…Resultados teóricos y de simulaciones muestran que los métodos LL poseen un gran número de propiedades deseables entre las que se encuentran la A-estabilidad, ausencia de puntos de equilibrio espurios bajo condiciones bastante generales y la preservación del comportamiento dinámico de la solución alrededor de puntos de equilibrio hiperbólicos y órbitas periódicas [6,7,9,15]. Adicionalmente, permite integrar ciertos tipos de ecuaciones "stiff" con menor costo computacional y mejor precisión que los integradores explícitos convencionales.…”

Local Linearization-Runge Kutta (LLRK) Methods for Solving Ordinary Differential Equations

“…The Local Linearization (LL) method (see, e.g., [9], [11], [15], [16], and references therein), also called exponentially fitted method [9], matricial exponentially fitted method [6], exponential Euler method [4] and piece-wise linearized method [16], is an explicit one-step integrator for solving ODEs. It is derived from the local linearization (first-order Taylor expansion) of the vector field of the equation at each time step.…”