Extensions Respectueuses de Chaines

Abstract

IntroductionKous traiterons ici, L propos de chaines, d'un problhme de FRAISS~ [2], le problkme general d'extension respectueuse: si des (cobjets)) A , ne se ccplongento pas dans des (cobjets)) B, existe-t-il une textension)) des B, dam laquelle les A , ne se plongent toujours pas? MALITZ [7] donne un contre-exemple b un problhme de ce type sur les relations; LOPEZ [6] y apporte une am6lioration. Ce probkme peut 6tre rapproch6 des problhmes peu repandus de succession de cardinaux poses par T-4RSKI [Sj & propos du plongement entre ensembles. Nous apportons dans le cas des chaines une reformulation correcte du problhme g6n6ral d'extension respectueuse car, pris au pied de la lettre, il se r6solvait nkgativement, mais chacun s'accordait L penser que les contreexemples obtenus cachaient une realit6 plus profonde. L'approfondissement que nous donnons se traduit par une simplification conceptuelle : on Btudie une proprietk analogue ZL la moiti6 superieure du critkre de distributivitb de BIRKHOFF [l] dans un treillis. Nous appelons cette propribte ((ultra-distributivite )), et le problhme revient b savoir si la classe des chaines est ultra-distributive. Nous am6liorons ce point de vue en 6tendant le problhme it l'existence d'un ensemble minimum (de chaines) ayant un ensemble d'extensions donne. Les principaux theorhmes prouvent cette existence sous certaines liypothhses dont nous conjecturons l'inutilitb. Les problhmes B l'origine de ce travail sont les suivants: 1" Le problkme de I'extension respectueuse simple pose en 1965 par FRAISSB: Une chaine infinie qui se plonge dans toute extension stricte d'une chaine A se plonge-t-elle dam A? JULLIEN [4] donne L ce problhme une solution fragmentaire dans le cas des chaines dispersees, en utilisant le resultat de LAVEH. [5] stipulant que celles-ci sont finiment insecables. Mais sa m6thode n'est pas gknkralisable. Nous r6solvons positivement ce problkme. 2" Le problhme de l'inexistence d'un suprCmum (pour l'ordre du plongement) i . deux chaines incomparables (pose en 1972 par S a s s l c~) . Ce problkme nous a conduit iL la notion de surdistributivite qui am6liore leh idCes prbcedentes et permet d'enoncer correctement la g6n6ralisation du probkme lo au cas de plusieurs chaines A . Nous disons qu'une chaine S est surdistribuable si pour toute chaine A et E , l'ensemble des extensions de E et A ne peut Btre le m&me (A l'isoniorphie p r k ) que celui cles extensions de E et S, que dans les cas triviaux: A et S se plongent dans E. ou A et S se plongent l'un dans l'autre. la relation de plongement. d &ant un ensemble de chalnes, notons Maj(d) l'ensemble (a l'isomorphie pr&) des extensions de x i ' c'est-&-dire des chaines Notons 1.2. N o t a t i o n s . Duns toute la suite les majuscules latines ( A , B , R, . . .) dBsigneront des objets, les majuscules rondes (d, 9?, 9, . . .) des ensembles d'objets. Soit d = { A , } , € [ et B = {B,}JEJ deux ensembles d'objets. Appelons m j o r a n t s ou (encore extemions) de d les objets majorant b la fois tous les A de d ; de m6me pour majorant...

Countably Complementable Linear Orderings

“…We will show that every countable linear ordering has the totally faithful extension property, answering this question in the affirmative. Hagendorf [7] has conjectured that this is true even without restricting to the countable case.…”

“…These two properties, which we define below, were introduced by Hagendorf in [6] (see [7, page 426]) for arbitrary cardinality. In this paper we treat only the countable case.…”