Fórmulas ergódicas para medias geométricas y curvas minimales

Abstract

La tesis se divide como sigue: En el capítulo 2 damos las herramientas que necesitamos para el capítulo 3. De finimos los espacios de Hadamard, damos ejemplos de los mismos y algunos resultados preliminares. Luego de finimos el baricentro. A continuación pasamos a dar algunas nociones básicas de Teoría ergódica. Particularmente nos interesa el Teorema de Birkhoff y su relación con la ley de los grandes números. Por último pasamos a sistemas de Kronecker. Estos resultados son necesarios para el desarrollo del capítulo 3. No obstante, si el lector conoce estos temas, puede obviar este capítulo y pasar al siguiente. En el capítulo 3 damos la demostración del Teorema ergódico para espacios de Hadamard. Comenzamos el capítulo con una motivación del mismo. La relevancia de esta motivación yace en el hecho que utilizamos algunos lemas relacionados con la misma. Los resultados originales se encuentran en las secciones 3.3 y 3.4, donde demostramos el Teorema ergódico para el caso continuo y L1 respectivamente. A su vez, utilizamos una nueva noción de molli fiers en espacios de Hadamard, la cual es interesante por sí misma y había sido probada por Karcher para variedades Riemannianas. En el capítulo 4 estudiamos la estructura de las curvas minimales en el caso de la norma traza. Comenzamos el capítulo motivando este problema, a partir de un estudio análogo realizado por Y. Lim, en el espacio de matrices positivas. Los resultados originales se encuentran en la sección 4.2 y los resultados más importantes obtenidos son: la caracterización de las curvas minimales para matrices Hermitianas y positivas. En el capítulo 5 estudiamos la estructura de las curvas minimales para matrices unitarias medidas con la norma espectral. Los resultados originales se encuentran en las secciones 5.3, 5.4 y 5.5. En la primera, estudiamos dicha estructura. En la segunda, la geometría de los puntos medios y en la tercera, la Grassmaniana. En el capítulo 6 incluímos resultados que utilizamos del análisis matricial. Entre estos se encuentran resultados de mayorización, normas unitariamente invariantes u otros. A su vez se pueden encontrar resultados que utilizamos sobre la geometría de las matrices positivas. También agregamos algunos resultados que son conocidos, pero tal vez no en toda su generalidad (para espacios métricos), como el Teorema de Lusin.