Irrationalité d’une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs

On a Conjecture of Chowla and Milnor

“…Further, by a result of Rivoal and Ball [2], ζ(k) is irrational for infinitely many odd k. Thus for infinitely many odd k, either dim Q V k (3) = 3 or dim Q V k (4) = 3.…”

Number Theory and Applications, 2

“…По формуле Стирлинга получим, что︀ (17), важно, чтобы сумма имела по-ложительные слагаемые (тот факт, что ℓ четное, неявно здесь используется), и к тому же этот факт даже позволяет оценить эту сумму точно с помощью дискретного метода Лапласа. Сошлемся на [10] или [11], где приведены детали в подобных ситуациях. Сначала заменим на при ∈ [0, 1] и определяем асимптотическое поведение…”

“…5.3), укажем, что верхней оценки для |̃︀ , ( , , b)| достаточно, когда применяется критерий линейной независимости Нестеренко (см. в [10] формулировку критерия), потому что в нашей ситуации мы знаем точную скорость убывания линейной формы от значений бета-функции.…”

“…Гипергеометрические ряды или интегралы, как те, что изу-чаются в настоящей работе, широко применяются, в частности, при исследовании арифмети-ческой природы дзета-значений; см., например, [10], [16], [17]. В теореме 2 нетрудно доказать, что ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ Когда в качестве , и выбираются рациональные числа,̃︀ , ( , , b) и , ( , , b) являют-ся рациональными числами.…”

Phénomènes de symétrie dans des formes linéaires en polyzêtas

“…. , ζ(A) (avec A impair) croît au moins comme log(A) ( [2,16]) ; (iii) Au moins un des quatre nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) est irrationnel (Zudilin [23]). Ces résultats peuventêtre obtenus par l'étude de certaines séries de la forme…”