K_2 et conjecture de Greenberg dans les \mathbb{Z}_p-extensions multiples

Sur la dualité et la descente d’Iwasawa

“…-1) (i) L'équivalence de 6.8 (i), longtemps suspectée, avait déjà été établie dans [34], conditionnellement à la conjecture de Gross pour chaque F n ; la preuve reposait alors de façon cruciale sur les résultats de [27]. Des résultats partiels figurent aussi dans [25] et [28], voir [34] à ce sujet.…”

“…Ce résultat fait suite aux tentatives précédentes de [28], [25], [34] (cf. 6.17) et complète [31], 9.4.1.…”

“…L'intérêt de ce résultat tient à sa relation à la conjecture de Greenberg généralisée (cf. [41] ou [34]). …”

Noyaux de Tate et capitulation

“…: F ], on peut changer i en 1 dans les deux derniers termes de (8). L'image en question s'identifie donc à celle de V (i) (F, p k ) par la seconde flèche horizontale de la première ligne, dans le diagramme suivant : (1) (F, p k ))) o(p tΔ 1,i ) et cela donne la minoration de l'énoncé, puisque sous la conjecture de Gross, on aÛ F /p k = δ −1 (V (1) (F, p k )).…”

“…On souhaite en particulier produire des exemples où E/F est Z p -plongeable et cap (i) (E/F ) = 0. C'est de loin le cas le plus difficile, mais c'est aussi le plus intéressant, à cause de son lien avec la conjecture de Greenberg généralisée (on renvoie à[8] et[13] pour plus d'explications).Proposition 3.8. On suppose que i est E-bon, i ≡ 1 mod [F (μ p k+t ) : F ].…”