Le problème de Bogomolov effectif sur les variétés abéliennes

Abstract

On obtient une nouvelle minoration du minimum essentiel en petite codimension sur les variétés abéliennes, sous une conjecture concernant leurs idéaux premiers ordinaires. Cette minoration, déjà connue dans le cas torique depuis les travaux d'Amoroso et David, est optimale « à ε près » en le degré de la sous-variété. La preuve suit la méthode des pentes et est basée sur les propriétés p-adiques des points de torsion des variétés abéliennes.We give a new lower bound for the essential minimum of subvarieties of abelian varieties with small codimension, under a conjecture about ordinary primes in abelian varieties. This lower bound, known in the toric case through the work of Amoroso and David, is best "up to an ε" in the degree of the subvariety. The proof follows the slope method and is based on the p-adic properties of torsion points in abelian varieties.

Une minoration du minimum essentiel sur les variétés abéliennes

“…Voir [Gal08], théorème 2.6, qui résume l'argument de [Dav91], théorème 4.1, où la hauteur des coefficients est bornée explicitement en fonction de A dans le cas du plongement théta. Précisons que les coefficients de la matrice de l'application induite sur le tangent en 0 par ce choix de dérivations sont dans K et ont une hauteur bornée uniquement en fonction de A (dans le cas du plongement théta, voir le lemme 1.4.14 de [Dav89]).…”

“…On choisit d'abord une hypersurface Z contenant X, réalisant ! L .X/ et associée à un idéal C. Suivant un calcul de géométrie différentielle classique (l'"astuce de Philippon-Waldschmidt", voir par exemple [PW88], lemme 6.7, [DH00], lemme 5.1 ou [Gal08], proposition 5.1), on obtient :…”

“…On poursuit dans ce travail la minoration de la hauteur normalisée sur les variétés abéliennes commencée dans [Gal08], dont on généralise le résultat principal en codimension quelconque. Commençons par rappeler les origines de notre problème.…”

The intersection of a curve with a union of translated codimension-two subgroups in a power of an elliptic curve

“…Conjecture 1.4 can be stated for subvarieties of A. Galateau [8] proves that such a cunjecture holds for varieties of codimension 1 or 2 in a product of elliptic curves. Then, for g ≤ 3, Conjecture 1.1 holds unconditionally.…”

Le probleme de Bogomolov effectif sur les varietes abeliennes

“…Soit donc A une variété abélienne définie sur K un corps de nombres, et L un fibré ample et symétrique sur A. Soit de plus A un modèle entier de A sur O K . Les méthodes employées dans un travail antérieur (correspondant au premier chapitre de [Gal07]) laissent espérer une minoration en codimension r ≤ 2 sous l'hypothèse suivante (on renvoie à infra, 2.1 pour plus de détails sur la réduction ordinaire, et à 2.3, sur la définition de la densité, qui est la densité naturelle) :…”