Le probleme de Bogomolov effectif sur les varietes abeliennes

Abstract

On obtient une nouvelle minoration du minimum essentiel en petite codimension sur les variétés abéliennes, sous une conjecture concernant leurs idéaux premiers ordinaires. Cette minoration, déjà connue dans le cas torique depuis les travaux d'Amoroso et David, est optimale "à ǫ près" en le degré de la sous-variété.

Une minoration du minimum essentiel sur les variétés abéliennes

“…Voir [Gal08], théorème 2.6, qui résume l'argument de [Dav91], théorème 4.1, où la hauteur des coefficients est bornée explicitement en fonction de A dans le cas du plongement théta. Précisons que les coefficients de la matrice de l'application induite sur le tangent en 0 par ce choix de dérivations sont dans K et ont une hauteur bornée uniquement en fonction de A (dans le cas du plongement théta, voir le lemme 1.4.14 de [Dav89]).…”

“…Il s'agit du Corollaire 2.8 de [Gal08], la seule différence étant la convention faite sur les normes w-adiques.…”

“…On commence par majorer le membre de droite dans l'inégalité de la proposition 4.1. On choisit d'abord une hypersurface Z contenant X, réalisant ω(X) et associée à un idéal C. Suivant un calcul de géométrie différentielle classique (l'"astuce de Philippon-Waldschmidt", voir par exemple [PW88], Lemme 6.7, [DH00], Lemme 5.1 ou [Gal08], Proposition 5.1), on obtient :…”

“…On poursuit dans ce travail la minoration de la hauteur normalisée sur les variétés abéliennes commencée dans [Gal08], dont on généralise le résultat principal en codimension quelconque.…”