Limit laws in the lattice problem. II. The case of ovals

Abstract

Nous étudions l'erreur du nombre de points d'un réseau unimodulaire qui tombent dans une ellipse dilaté et centré sur 0. On montre d'abord que l'étude de l'erreur, lorsqu'elle est normalisée par √ t où t est le paramètre de dilatation de l'ellipse, lorsque ce paramètre tend vers l'infini et lorsque le réseau considéré est aléatoire, se ramène à l'étude d'une transformée de Siegel S(f t )(L) qui dépend de t. Ensuite, on se ramène à l'étude du comportement asymptotic d'une transformée de Siegel avec poids aléatoires, S(F )(θ, L) où θ est un second paramètre aléatoire. Enfin, on montre que cette dernière quantité converge presque sûrement et on étudie l'existence des moments de sa loi.

Bounds for spectral projectors on tori

“…• When d = 2, Trevisan [22] has investigated in more detail the distribution of the normalised error P (λ)λ −1/2 when Q is chosen at random and λ is large. • The quantity P (λ + δ) − P (λ − δ) has also received attention.…”