Logarithmic stability estimates for a Robin coefficient in two-dimensional Laplace inverse problems

Abstract

We establish some global stability results together with logarithmic estimates in Sobolev norms for the inverse problem of recovering a Robin coefficient on part of the boundary of a smooth 2D domain from overdetermined measurements on the complementary part of a solution to the Laplace equation in the domain, using tools from analytic function theory.

Optimal logarithmic estimates in Hardy–Sobolev spaces Hk,∞

“…Les premières estimations de ce type remontent à L. Baratchart et M. Zerner [1] qui ont établi un résultat de contrôle de type log log log en norme L 2 dans le cas des espaces de Hardy H 2 du disque unité D. Un résultat similaire en norme L 2 a été démontré par Leblond et al [6] dans le cas d'une couronne G = D \ sD ; 0 < s < 1. Il s'agit de contrôler la norme L 2 du bord intérieur sT d'une fonction g suffisament régulière par celle de sa norme L 2 du bord extérieur T. Ce résultat a été utilisé essentiellement pour établir des estimations de stabilité logarithmique du problème inverse d'identification du paramètre de Robin généralisant les résultats de [1] et [3]. La méthode utilisée n'est pas applicable dans notre cas, puisqu'elle se base sur la structure Hilbertienne de l'espace de Hardy H 2 .…”

“…Comme applications, nous établissons dans la dernière section de cette Note un résultat de stabilité logarithmique de type optimal du problème de Cauchy et un autre de type 1 log en norme L ∞ du problème inverse d'identification du paramètre de Robin par des mesures de surface améliorant ainsi le résultat de stabilité de type ( log log log ) a (a < 1 2 ), démontré dans [3].…”

Pointwise inequalities of logarithmic type in Hardy-Hölder spaces

“…Let ϕ ∈ W Furthermore, there exist non-negative constants α, β and γ such that for every q ∈ Q ad we have u q α > 0, u W 1,∞ (T) β and |u Using again Privalov's theorem and equation (1.1), we prove as in [6] the following stability result: Theorem 4.3. Let ϕ ∈ W 1,2 0 (I) with non-negative values satisfy ϕ ≡ 0.…”

“…P r o o f. The proof is the same as the one of [6], Theorem 3, except that we use Privalov's theorem, see also [12], Theorem 5.8, instead of [6], Theorem 2, and our Theorem 1.1 instead of [6], Corollary 3.…”

Numerical identification of a Robin coefficient in parabolic problems

“…Consequently, the Robin inverse problem is also ill-posed. Despite the extensive literature on the lateral Cauchy problem [NH94,NHR97] or stationary Robin inverse problems (see [CJ99,CFJL04,JZ10] and references therein), there exists only a very limited number of theoretical studies [Cho99,BCC08] on the transient Robin inverse problem under consideration. In [Cho99] the unique identification of a nonlinear law on the boundary was discussed.…”