Natural and efficient dynamics through convex optimization

Abstract

Το αντικείμενο της διατριβής είναι η χρήση τεχνικών κυρτής βελτιστοποίησης για την μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς των στρατηγικών και του Τιμήματος της Αναρχίας σε ανταγωνιστικά παίγνια διαμόρφωσης άποψης, καθώς και για το σχεδιασμό αποδοτικών αλγορίθμων σε υπολογιστικά προβλήματα που σχετίζονται με την επιλογή απόψεων σε χρονικώς μεταβαλλόμενα περιβάλλοντα. Πιο συγκεκριμένα, η συμβολή της διατριβής εντοπίζεται στα εξής:Επέκταση και γενίκευση γνωστών αποτελεσμάτων για τις ιδιότητες σύγκλισης σε ισορροπία Nash καθώς και των άνω φραγμάτων για το Τίμημα της Αναρχίας σε παίγνια διαμόρφωσης άποψης βασιζόμενα στο μοντέλο Friedkin-Johnsen. Οι επεκτάσεις αυτές πραγματοποιούνται σε δύο βασικές κατευθύνσεις. Στην πρώτη κατεύθυνση εισάγεται και μελετάται μία γενίκευση των παιγνίων διαμόρφωσης άποψης στην οποία οι επιδράσεις μεταξύ των παικτών μπορεί να αρνητικές (βλ. οι απόψεις κάποιων παικτών να λειτουργούν απωθητικά για τους υπόλοιπους). Αποδεικνύεται πως ακόμα και σε αυτή την περίπτωση, το Τίμημα της Αναρχίας φράσσεται άνω από μία σταθερά ανεξάρτητη του αριθμού των παικτών που συμμετέχουν στο παίγνιο. Παράλληλα αποδεικνύεται πως η best response δυναμική συγκλίνει σε ισορροπία Nash ακόμα και σε περιπτώσεις που οι παίκτες έχουν ελλιπή γνώση σχετικά με τις στρατηγικές των άλλων παικτών. Στην δεύτερη κατεύθυνση, εξετάζεται μια τυχαιοκρατική εκδοχή των παιγνίων διαμόρφωσης άποψης στην οποία το κόστος διαφωνίας κάθε παίκτη με τον κοινωνικό του περίγυρο δίνεται από μία τυχαία μεταβλητή εξαρτώμενη από τυχαίες συναντήσεις του με παίκτες που ανήκουν στον κοινωνικό του περίγυρο. Στόχος των παικτών είναι η επιλογή της στρατηγικής που ελαχιστοποιεί το αναμενόμενο κόστος διαφωνίας. Παρουσιάζονται αποτελέσματα σχετικά με την ταχύτητα σύγκλισης των απόψεων σε ισορροπία Nash, όταν οι παίκτες ανανεώνουν τις απόψεις τους βάσει του αλγορίθμου Follow the Leader. Παρουσιάζονται ακόμη κάτω φράγματα στην ταχύτητα σύγκλισης οποιασδήποτε δυναμικής που εξασφαλίζει no-regret.Εισάγονται και μελετώνται δύο γενικεύσεις του δυναμικού συστήματος Hegselmann-Krause. Στην πρώτη γενίκευση, θεωρούμε ένα μη κατευθυνόμενο δίκτυο του οποίου οι κόμβοι αναπαριστούν τους παίκτες και οι ακμές αναπαριστούν τις μεταξύ τους κοινωνικές σχέσεις. Σε κάθε γύρο, οι παίκτες ανανεώνουν τις απόψεις τους στο μέσο όρο των απόψεων των γειτόνων τους των οποίων η άποψη είναι κοντινή προς τη δική τους. Το μοντέλο που προτάθηκε από τους Hegselmann και Krause αποτελεί ειδική περίπτωση του παραπάνω μοντέλου, όταν όλοι οι παίκτες συνδέονται με όλους τους άλλους. Αποδεικνύεται πως για οποιαδήποτε τοπολογία δικτύου, οι απόψεις των παικτών σταθεροποιούνται μετά από πεπερασμένο αριθμό γύρων. Στη δεύτερη επέκταση, οι παίκτες διαλέγουν τυχαία ένα μικρό υποσύνολο άλλων παικτών και ανανεώνουν την άποψη τους στο μέσο όρο απόψεων των τυχαίων παικτών που έχουν άποψη είναι κοντινή προς τη δική τους. Αποδεικνύεται ότι το σύστημα συγκλίνει σε ισορροπία μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Εξ’ όσων γνωρίζουμε, αυτή είναι η πρώτη απόδειξη σύγκλισης σε δυναμικά συστήματα διαμόρφωσης άποψης όπου θεωρούμε ότι το υποκείμενο δίκτυο είναι κατευθυνόμενο.Παρουσιάζεται αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου για το πρόβλημα k-facility reallocation. Το πρόβλημα αυτό προτάθηκε ως γενίκευση του κλασσικού προβλήματος βελτιστοποίησης k-median, όταν οι θέσεις των πελατών βρίσκονται στην ευθεία αλλά εξελίσσονται στο χρόνο. Ο αλγόριθμος βασίζεται στην επίλυση ενός κατάλληλου γραμμικού προγράμματος και είναι ισχυρά πολυωνυμικός. Το αποτέλεσμα αποτελεί σημαντική βελτίωση σε σχέση με τον προηγούμενο καλύτερο γνωστό αλγόριθμο, ο οποίος ήταν εκθετικός στην παράμετρο k.