Note sur les séries de termes positifs

Abstract

Note sur les séries de termes positifs Annales scientifiques de l'É.N.S. 1 re série, tome 6 (1869), p. 185-204 <http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1869_1_6__185_0> © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1869, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Annales scientifiques de ?''Ecole Normale supérieure. Tome VL ^4 î 86 NOTE règles qui permettent de décider, dans le plus grand nombre des cas, si une série de termes positifs est convergente ou divergente, et de ramener la recherche de la convergence des intégrales définies à celle de la convergence des séries, au moyen du théorème de Cauchy. D'ailleurs, dans les applications on n'éprouve jamais de difficultés pour reconnaître si une intégrale définie, dont tous les éléments sont positifs, reste finie quand l'une des limites croît indéfiniment. Nous reviendrons plus loin sur ce sujet. Une série est convergente quand le rapport d'un terme au précédent a une limite moindre que i ; elle est divergente si cette limite est plus grande que i, ou si elle est égale à i, mais que le rapport soit toujours plus grand que i. Cette règle, qui est la plus simple de toutes, est rarement applicable; le plus souvent, le rapport d'un terme au précédent a pour limite l'unité, et oscille autour de cette limite ou lui est toujours inférieur. Cauchy donna une règle applicable dans ce cas; un peu plus tard, M. Augustus de Morgan, dans son Traité de calcul intégral, publia une série de règles applicables dans le cas douteux. M, Duhamel et M. Raabe parvinrent, chacun de leur côté, a une règle qui diffère beaucoup par la forme de celles de M. de Morgan. M. Bertrand, dans un Mémoire inséré au septième volume du Journal de M. Liowille, reprit la règle donnée par Cauchy et celle qu'avaient fait connaître M. Duhamel et M. Raabe, et en déduisit deux séries de règles de formes très^différentes. On avait ainsi trois séries de règles, dans chacune desquelles une règle peut être applicable précisément quand les précédentes n'ont pas été suffisantes. M. Bertrand montra en outre que ces trois séries de règles n'en forment qu'une, en ce sens que les quantités dont dépend dans chacune d'elles la convergence d'une série ont mêmes limites, de sorte que si Fune d'elles permet de résoudre la question, les autres le permettent également. L'année suivante, M. Bonnet donna d'autres règles publiées aussi dans le Journal de Mathématiques et qui reviennent encore aux précédentes. Bien que ces règles soient les mêmes au fond, elles ont toutes leur utilité propre, parce que, selon les cas, Fune ou l'autre...