On distant-isomorphisms of projective lines

Blunck, Andrea; Havlicek, Hans

doi:10.1007/s00010-004-2745-7

Cited by 18 publications

(19 citation statements)

References 27 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…(1, 0), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,10), (1,14), (1,15), (0, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7,1), (8,1), (10,1), (14,1), (15,1), (3,4), (3,10), (3,14), (5,4), (5,10), (5,14), (6,4), (6,10), (6,14).…”

unclassified

Projective ring line encompassing two-qubits

2008

View full text Add to dashboard Cite

The projective line over the (non-commutative) ring of two-by-two matrices with coefficients in GF (2) is found to fully accommodate the algebra of 15 operators -generalized Pauli matrices -characterizing two-qubit systems. The relevant sub-configuration consists of 15 points each of which is either simultaneously distant or simultaneously neighbor to (any) two given distant points of the line. The operators can be identified with the points in such a one-to-one manner that their commutation relations are exactly reproduced by the underlying geometry of the points, with the ring geometrical notions of neighbor/distant answering, respectively, to the operational ones of commuting/non-commuting. This remarkable configuration can be viewed in two principally different ways accounting, respectively, for the basic 9+6 and 10+5 factorizations of the algebra of the observables. First, as a disjoint union of the projective line over GF (2) × GF (2) (the "Mermin" part) and two lines over GF (4) passing through the two selected points, the latter omitted. Second, as the generalized quadrangle of order two, with its ovoids and/or spreads standing for (maximum) sets of five mutually non-commuting operators and/or groups of five maximally commuting subsets of three operators each. These findings open up rather unexpected vistas for an algebraic geometrical modelling of finite-dimensional quantum systems and give their numerous applications a wholly new perspective. Projective lines defined over finite associative rings with unity/identity 1−7 have recently been recognized to be an important novel tool for getting a deeper insight into the underlying algebraic geometrical structure of finite dimensional quantum systems. 8−10 Focusing almost uniquely on the two-qubit case, i.e., the set of 15 operators/generalized four-by-four Pauli spin matrices, of particular importance turned out to be the lines defined over the direct product of the simplest Galois fields, GF (2) × GF (2) × . . . × GF (2). Here, the line defined over GF (2) × GF (2) plays a prominent role in grasping qualitatively the basic structure of so-called Mermin squares, 9,10 i. e., three-by-three arrays in certain remarkable 9 + 6 split-ups of the algebra of operators, whereas the line over GF (2) × GF (2) × GF (2) reflects some of the basic features of a specific 8 + 7 ("cubeand-kernel") factorization of the set. 10 Motivated by these partial findings, we started our quest for such a ring line that would provide us with a complete picture of the algebra of all the 15 operators/matrices. After examining a large number of lines defined over commutative rings, 6,7 we gradually realized that a proper candidate is likely to be found in the non-commutative domain and 1

show abstract

unclassified

Projective ring line encompassing two-qubits

2008

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…If g∩h =: W is a point at infinity, we choose lines g 1 , g 2 , g 3 := g, h 1 , h 2 , h 3 := h as described in Property 4. Let X ij be the intersection of g i and h j for all i, j = 1, 2, 3 with (i, j) = (3,3). X ij are finite points, so X ϕ ij are defined.…”

Section: Proof Of Theoremmentioning

confidence: 99%

Adjacency preserving mappings of 2 × 2 Hermitian matrices

Wei

2008

Aequ. math.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…(1, 1), (1,2), (1,9), (1,11), (1,12), (1,13), (1,0), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,10), (1,14), (1,15), (0, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7,1), (8,1), (10,1), (14,1), (15,1), (3,4), (3,10), (3,14), (5,4), (5,10), (5,14), (6,…”

Section: проективные кривые над кольцом включающие в себя два-кубитыunclassified

“…набору из пяти взаимно некоммутирующих операторов (рис. 1 б), в то время как вторая отвечала решетке из девяти точек на шести ли-ниях 2) , связанной с квадратом операторов Мермина (рис. 1 в).…”

Section: проективные кривые над кольцом включающие в себя два-кубитыunclassified

“…В слу-чае два-кубитов, т.е. для набора из 15 операторов -обобщенных спиновых матриц Паули размера 4×4, особенное значение приобретают прямые, заданные над прямым произведением простейших полей Галуа GF (2) × GF (2) × · · · × GF (2). В этом случае прямая, заданная над GF (2) × GF (2), играет определяющую роль в качественном понимании базисной структуры так называемых квадратов Мермина [9], [10], т.е.…”

unclassified

See 1 more Smart Citation

Проективные Кривые Над Кольцом, Включающие В Себя Два-Кубиты

Санига¹,

Плана²,

Planat³

et al. 2008

ТМФ

View full text Add to dashboard Cite

ПРОЕКТИВНЫЕ КРИВЫЕ НАД КОЛЬЦОМ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ В СЕБЯ ДВА-КУБИТЫНайдено, что проективная прямая над (некоммутативным) кольцом мат-риц размера 2 × 2 с коэффициентами в группе GF (2) полностью включает в себя алгебру 15 операторов (обобщенных матриц Паули), задающую систему два-кубитов. Соответствующая подконфигурация состоит из 15 точек, каждая из которых одновременно оказывается или удаленной, или соседней по отноше-нию к двум (произвольно заданным) удаленным точкам проективной прямой. Операторы можно отождествить с точками таким однозначным образом, чтобы их коммутационные соотношения в точности воспроизводились бы соответству-ющей геометрией точек; при этом геометрические отношения соседства и уда-ленности отвечают соответственно операторным отношениям коммутативности и некоммутативности. Эту примечательную конфигурацию можно рассматри-вать двумя принципиально разными способами, основанными соответственно на базисных 9 + 6 и 10 + 5 факторизациях алгебры наблюдаемых. Во-первых, эта конфигурация представляет собой объединение взаимно несвязных проек-тивной прямой над GF (2) × GF (2) ("мерминовская" составляющая) и двух ли-ний над GF (4), проходящих через две выбранные точки, которые мы опустим. Во-вторых, она оказывается обобщенным четырехугольником порядка два, ово-иды и/или растяжки которого отвечают соответственно (максимальным) набо-рам пяти взаимно некоммутирующих операторов и/или группам из пяти мак-симальных подмножеств коммутирующих операторов, каждое из которых со-держит три оператора. Это наблюдение открывает неожиданные возможности для алгебро-геометрического моделирования конечномерных квантовых систем и совершенно новые перспективы для их многообразных применений.Ключевые слова: проективные прямые над кольцом, обобщенный четырехугольник порядка два, два-кубит.В последнее время сформировалось понимание того, что проективные прямые, за-данные над конечными ассоциативными кольцами с единицей [1]- [7], представляют

show abstract

On distant-isomorphisms of projective lines

Cited by 18 publications

References 27 publications

Projective ring line encompassing two-qubits

Projective ring line encompassing two-qubits

Adjacency preserving mappings of 2 × 2 Hermitian matrices

Проективные Кривые Над Кольцом, Включающие В Себя Два-Кубиты

Contact Info

Product

Resources

About