On Inverse Nodal Problem and Multiplicities of Eigenvalues of a Vectorial Sturm-Liouville Problem

Abstract

<jats:p>An <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>m</mml:mi></mml:math>-dimensional vectorial inverse nodal Sturm-Liouville problem with eigenparameter-dependent boundary conditions is studied. We show that if there exists an infinite sequence <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="{" close="}"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math> of eigenfunctions which are all vectorial functions of type (CZ), then the potential matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math> are simultaneously diagonalizable by the same unitary matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>U</mml:mi></mml:math>. Subsequently, some multiplicity results of eigenvalues are obtained.</jats:p>