On motions in a small neighborhood of zero of a multidimensional system

Abstract

Постановка задачи. Рассмотрим устойчивость особой точки в нуле трехмерных нели нейных систем уравнений. Из этого класса систем возьмем примеры (базовые модели процесcов). Уравнения в квадратичных функциях записываем дважды: в нуле и малой окрестности нуля. При второй записи уравнений (рассматривается малая окрестность нуля) применяем неравенства. Предварительная устойчивость (неустойчивость) влияет на знак неравенства, в силу которого строятся уточняющие уравнения. Для обох случав уравнения в квадратичных функциях совпадают. Применение двух видов анализа "вспомогательного" и "уточняющего" приводит к одним и тем же уравнениям и заключениям о качестве особой точки и малой области.Объяснение этого явления связано с элементами теории сравнения. Пред лагаемый качественный анализ трехмерных систем содержит элемент, который имеет определенную связь с методом сравнения. Область в окрестности нуля остается малой и сохраняет определенное качество. В рамках этого представления рассмотрим три примера. Для ознакомления с критериями устойчивости (неустойчивости) отсылаем к обзору, который дает современное состояние результатов по данному вопросу [1]. Ключевым утверждением метода сравнения является следующее: если для исследуемой системы существует функция Ляпунова, удовлетворяющая подходящим условиям, тогда различные динамические свойства исходной системы следуют из соответствующих динамических свойств системы сравнения [1]. Необходимость установления неустойчивости возмущенной системы связана с изучением, например, проблемы существования аттракторов. Базовые модели неоднократно ана