On the Bumpy Fundamental Group Scheme

Abstract

In this short paper we first recall the definition and the construction of the fundamental group scheme of a scheme X in the known cases: when it is defined over a field and when it is defined over a Dedekind scheme. It classifies all the finite (or quasi-finite) fpqc torsors over X. When X is defined over a noetherian regular scheme S of any dimension we do not know if such an object can be constructed. This is why we introduce a new category, containing the fpqc torsors, whose objects are torsors for a new topology. We prove that this new category is cofiltered thus generating a fundamental group scheme over S, said bumpy as it may not be flat in general. We prove that it is flat when S is a Dedekind scheme, thus coinciding with the classical one.2000 Mathematics Subject Classification. 14G99, 14L20, 14L30. The author thanks the project TOFIGROU (ANR-13-PDOC-0015-01).1 Une théorie satisfaisante de la spécialisation du groupe fondamental doit tenir compte de la "composante continue" du "vrai" groupe fondamental, correspondantà la classification des revêtements principaux de groupe structural des groupes infinitésimaux ; moyennant quoi on serait en droità s'attendre que les "vrais" groupes fondamentaux des fibres géométriques d'un morphisme lisse et propre f : X → Y forment un joli système local sur X, limite projective de schémas en groupes finis et plats sur X.2 Cette conjecture extrêmement séduisante est malheureusement mise en défaut par un exemple inédit de M. Artin, déjà lorsque les fibres de f sont des courbes algébriques de genre donné g ≥ 2.