On two symmetries in the theory of $m$-Hessian operators

Abstract

The paper introduces a new differential-geometric system which originates from the theory of m-Hessian operators. The core of this system is a new notion of invariant differentiation on surfaces. This novelty gives rise to the following absolute geometric invariants: invariant derivatives of the surface position vector, an invariant connection on a surface via subsurface, curvature matrices of a hypersurface and its normal sections, p-curvatures and m-convexity of a hypersurface, etc. Our system also produces a new interpretation of the classic geometric invariants and offers new tools to solve geometric problems. In order to expose an application of renovated geometry we deduce an a priori C 1 -estimate for solutions to the Dirichlet problem for m-Hessian equations.

Metabolic regulation inferred from Jacobian and Hessian matrices of metabolic functions

“…Together with the Jacobian matrix, Hessian matrices are commonly applied to study ndimensional functions and surfaces, their extrema and their curvature (see e.g. (Basterrechea & Dacorogna, 2014;Ivochkina & Filimonenkova, 2019)). In context of the presented theory for analysis of biochemical metabolic functions, this suggests that metabolism can be summarised by a multi-dimensional function.…”

Интегральные Неравенства В Теории Гессиановских Операторов

“…Геометрические характеристики, ответственные за такой эффект, были введены в статье [10] в терминах главных кривизн гиперповерхностей в процессе доказательства разрешимости задачи Дирихле для 𝑚-гессиановских уравнений. Элементы нового дифференциально-геометрического направления имеются в статьях [11], [8], [9] и др. В препринте [12] содержится систематическое описание новой системы дифференциально-геометрических инвариантов гладких гиперповерхностей.…”

“…В доказательстве теоремы 1, представленном в [14], имеются существенные пробелы, однако неравенства (1.12) верны и позже были доказаны разными способами в статьях [15], [9].…”

“…Статья [9] содержит семейство интегральных неравенств нового типа в конусах (1.10) как следствие неравенств (1.12). В п.…”

К Столетию Со Дня Рождения Алексея Васильевича Погорелова

“…Итак, обобщение А. В. Погорелова многомерной проблемы Минковского и теория однородных гиперболических многочленов Л. Гординга привели к новому направлению как в дифференциальной геометрии, так и в теории дифференциальных операторов в частных производных второго порядка. Примеры развития этого направления содержатся в публикациях [38], [39].…”