Open problems in local discrete holomorphic dynamics

Abate, Marco

doi:10.1007/s13324-011-0017-y

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“…Ceci signifie, par exemple dans le cas 1, qu'il existe ϕ ∈ Diff(C, 0) tel que l'algèbre L est engendrée par ϕ * ∂ z = 1 ϕ ′ (z) ∂ z . Les groupes de Lie correspondant aux modèles précédents sont les groupes de transformations des géométries euclidienne, affine et projective de la droite :…”

Section: Première Partieunclassified

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Pseudo-groupe d’une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux

Loray¹

2021

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Classification formelle et propriétés algébriquesNotons Diff(C, 0) le groupe pour la composition des "germes de difféomorphismes formels" fixant 0 ∈ C :Nous décrivons les propriétés algébriques de Diff(C, 0), ou plus généralement de Diff(C, 0). Nous donnons notamment une classification des éléments et sous-groupes résolubles de Diff(C, 0) à conjugaison près dans Diff(C, 0) (classification formelle). Nous terminerons par une description assez sommaire des sous-groupes non résolubles et aborderons quelques questions ouvertes dans ce domaine.2.1 Sous-algèbres de Lie de X (C, 0)On note X (C, 0) l'algèbre de Lie des germes de champs de vecteurs holomorphes en 0 ∈ C :Une sous-algèbre L de X (C, 0) est un sous-espace vectoriel complexe stable par crochet de Lie. On dit que L est transitive si l'un au moins de ses éléments ne s'annule pas en 0 ; on dira qu'elle est intransitive sinon.Commençons par rappeler le résultat classique de Sophus Lie sur la classification des géométries de la droite (voir [109])Remarque 2.4. Dans la suite, on notera X p,λ la forme normale obtenue dans le cas dégénéré(2.1)Notons que (z p+1 − λ 2iπ z 2p+1 )∂ z est conjugué à X p,λ (voir la démonstration précédente) et aurait tout aussi bien pu convenir comme forme normale. Cependant, X p,λ a l'avantage que sa forme duale ω p,λ = dz z p+1 + λ 2iπ dz z admet une primitive bien plus simple, à savoir :Cette transformation (multiforme) redresse X p,λ sur le champ constant ∂ z et sera maintes fois utilisée plus loin.

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Section: Première Partieunclassified

“…Diff(C, 0) 1) . Un premier invariant de conjugaison formelle est donné par la partie linéaire a = f ′ (0) = g ′ (0).…”

Section: Classification Formelle Des éLéments Deunclassified

Pseudo-groupe d’une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux

Loray¹

2021

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“…Remark 5.9. It follows that U l1,l2 is the largest region among U l (1) ,l (2) for any l (1) in I 1 f and l (2) in I 2 f , and that I 1…”

Section: 3mentioning

confidence: 99%

“…. If T k = δ < T k−1 , then it follows from the inequality l 1 < α 0 = l 1 + l 2 that (1) } and so I f = [l 1 , l 1 + l 2 ) × {l 1 + l 2 }. In particular, min I 1 f = l 1 and max{l (1)…”

Section: 3mentioning

confidence: 99%

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A construction of Böttcher coordinates for holomorphic skew products

Ueno

2019

Nonlinearity

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Let f (z, w) = (p(z), q(z, w)) be a holomorphic skew product with a superattracting fixed point at the origin. Under one or two assumptions, we prove that f is conjugate to a monomial map on an invariant open set whose closure contains the origin. The monomial map and the open set are determined by the degree of p and the Newton polygon of q.for some rational numbers 0 ≤ l 1 < ∞ and 0 < l 2 ≤ ∞, which are also determined by the degree of p and the Newton polygon of q.Let f 0 (z, w) = (a δ z δ , b γd z γ w d ) and ||(z, w)|| = max{|z|, |w|}.Lemma 1.1. If d ≥ 2, then (1) for any small ε > 0 there is r > 0 such that ||f − f 0 || < ε||f 0 || on U r , and(2) f (U r ) ⊂ U r for small r > 0.In particular, f is rigid on U r . As in the one dimensional case, this lemma induces a conjugacy on U r from f to the monomial map f 0 .Theorem 1.2. If d ≥ 2, then there is a biholomorphic map φ defined on U r that conjugates f to f 0 for small r > 0. Moreover, for any small ε > 0, there is r > 0 such that ||φ − id|| < ε||id|| on U r .

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