Os opostos se atraem? uma investigação a partir de sistemas dinâmicos

Abstract

Neste trabalhoé feita uma análise do problema inicialmente discutido por S. Strogatz que trata da relação amorosa entre duas pessoas por meio de um sistema dinâmico. Para tanto, faz-se uma discussão dos conceitos e ferramentas básicas da teoria de Sistemas Dinâmicos essenciais para a análise proposta. Investiga-se o comportamento assintótico do sistema para os valores dos parâmetros correspondentes aos casos em que se tem "sentimentos opostos" e "personalidades opostas" de acordo com a interpretação dada ao sistema a fim de discutir a questão "os opostos se atraem?". Discute-se também a situação em que o casal sofre influência de um agente externo cuja dinâmicaé governada por uma equação não-linear. Como resultado, obtém-se os planos de fase para as várias situações consideradas bem como a função hamiltoniana para os casos de centros e selas. Conclui-se citando alguns problemas físicos que são descritos por equações semelhantes. Palavras-chave: dinâmica de amor eódio, equações diferenciais, campo vetorial, função hamiltoniana.We analyze the problem first discussed by S. Strogatz, which deals with the loving relationship between two people through a dynamical system. A discussion of the concepts and basic tools of Nonlinear Dynamics is done and we focuse on the asymptotic behavior for parameters values that can be interpreted as "opposite feelings" and "opposite personalities" for answer the question "do opposite attract?". We also discuss the influence of an external agent whose dynamics is governed by a nonlinear equation. Our results correspond to the phase planes for the several situations of the model as well as the Hamiltonian function for the cases of center and saddle fixed points. We conclude by quoting some physical systems that are describe by of similar functions. Keywords: love hate dynamics, differential equations, vector field, Hamiltonian function. IntroduçãoA investigação de fenômenos a partir de sistemas dinâmicosé um recurso presente em diversasáreas das ciências. Dentre os sistemas mais utilizados, as equações diferenciais constituem ferramentas de indiscutível importância, principalmente, na descrição de sistemas físicos, químicos, biológicos e em problemas de engenharia [1]. Desde sua descoberta [2,3] as equações diferenciais têm sido utilizadas para estudar e explicar a evolução de diversos fenômenos naturais. Em 1988, porém, S. Strogatz apresenta uma "aplicação" um pouco diferente para equações diferenciais, a saber, a descrição matemática da relação amorosa entre duas pessoas [4]. Na realidade, Strogatz propõe uma interpretação sentimental das variáveis de um sistema de equações a fim de motivar o estudo das equações diferenciais e, ao mesmo tempo, discutir algumas técnicas de resolução. Após o trabalho de Strogatz vários outros estudos envolvendo a descrição de relações amorosas via equações diferenciais foram realizados [5][6][7]. Recentemente, equações de ordem fracionárias [8], equações com termos perturbativos [9] e sistemas com atraso de tempo [10] também têm sido investigadas com t...