Positiv-zerlegte p-Erweiterungen algebraischer Zahlkörper.

Abstract

Die Struktur der Fundamentalgruppe einer in endlich vielen Punkten gelochten, glatten projektiven Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k endlicher Charakteristik wurde von Grothendieck für den zur char (k) primen Teil in Erzeugenden und einer Relation angegeben [3]. Auf Grund von Analogie-Betrachtungen läßt sich vermuten, daß eine entsprechende p-Version dieses Theorems auch über der zyklotomischen Z p -Erweiterung K^ eines algebraischen Zahlkörpers K gelten müßte. Es zeigt sich aber, daß der als analog zu betrachtende Situs -unverzweigte bzw. außerhalb einer endlichen Primstellenmenge unverzweigte Überlagerungen -wegen der großen Trägheitsgruppen für die über p liegenden Stellen nicht der richtige sein kann.Unter der Voraussetzung, daß der Körper K vom CM-Typ ist, wurde in [12] gezeigt: K besitzt eine kanonische /^-Erweiterung S, deren Galoisgruppe über K^ eine Demuskingruppe ist, nämlich die maximale außerhalb p unverzweigte und bei p positivzerlegte ^-Erweiterung von K\ dabei bedeutet "bei p positiv-zerlegt", daß die Zerlegungsgruppen für die über p liegenden Stellen sich durch Liftung aus denen des maximal total reellen Teilkörpers von K ergeben.Ziel dieser Arbeit ist es, obiges Resultat auf Grundkörper zu übertragen, die nicht notwendig selbst vom CM-Typ, sondern geeignete Erweiterungen eines solchen sind: Zu einem fest vorgegebenen algebraischen Zahlkörper vom CM-Typ wird der Situs aller bei p positiv-zerlegten /^-Überlagerungen erklärt. Für diesen Situs ergibt sich dann eine zum Funktionenkörperfall völlig analoge Aussage, die Inhalt des folgenden Theorems ist.