Probabilistic Number Theory II

Limit Theorems for Empirical Density of Greatest Common Divisors

“…For the readers who are interested in the probabilistic methods in number theory, we refer to the books by Elliott [7] and Tenenbaum [12].…”

The Erdős-Kac theorem for polynomials of several variables

“…Since then there has been a very rich literature on various aspects of the Erdős-Kac theorem (see, for example, [1,9,11,13,14,15,16,17,19,20]). Interested readers can refer to Granville and Soundararajan's paper [8] for the most recent account and Elliot's monograph [6] for a comprehensive treatment of the subject. In particular, Halberstam in [9] proved that (1.1) lim…”

Uma demonstração analítica do teorema de Erdös-Kac

“…O teorema que vamos demonstrar está na linguagem de funções de distribuições. Para mais detalhes sobre esse teorema, tanto quanto sua roupagem probabilística, recomendamos a leitura de [3]. Aqui vamos usar o teorema de Fubini, que pode ser consultado em [5].…”

“…, que se mantém para todo número real x positivo, e qualquer função aritmética aditiva f (n) que satisfaça f (p k ) = f (p), para todo primo p e todo inteiro positivo k. Essas desigualdades, quanto outras considerações podem ser consultadas em [3].…”

“…Quando Kac foi dar a primeira palestra sobre o teorema tema deste trabalho (que era ainda uma conjectura), Erdös estava na plateia e antes mesmo da apresentação chegar ao fim, ele havia completado a prova. Veja abaixo o fragmento (retirado de [3]) com as próprias palavras do professor Kac:…”