Procedures to search for Laurent and regular solutions of linear ordinary differential equations with truncated power series coefficients

Abstract

Аннотация. Обсуждаются задачи построения лорановых и регулярных решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Предполагается, что коэффициентами уравнений являются формальные степенные ряды, которые заданы в виде их усечений, то есть в виде начальных отрезков рядов, и что степень этих начальных отрезков может быть различна. Рассматриваемые виды решений также содержат степенные ряды. Интересует нахождение максимально возможного числа коэффициентов этих рядов в решениях, таких что они являются инвариантными относительно различных возможных продлений усечений рядов-коэффициентов заданного уравнения. В настоящей статье дается беглый обзор алгоритмов для решения такой задачи и представляется реализация этих алгоритмов в виде Maple-процедур. Рассматриваются линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с бесконечными (формальными) степенными рядами в роли коэффициентов, при этом эти ряды задаются в усеченном виде. Предлагаются компьютерно-алгебраические процедуры (они реализованы в среде Maple) построения решений двух видов. Эти решения содержат, в свою очередь, степенные ряды. Исходя из заданных усеченных рядов-коэффициентов уравнения, процедуры находят максимально возможное число членов рядов, входящих в решения. Ключевые слова: усеченные степенные ряды; линейные обыкновенные дифференциальные уравнения; лорановы решения; регулярные решения; компьютерная алгебра; Maple