Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih

Abstract

ABSTRAKDiberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu Rmodul M dikatakan bersih apabila ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu merupakan modul bersih, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa setiap modul merupakan submodul dari suatu modul bersih.. Kata kunci: ring bersih, submodul, modul bersih ABSTRACT Given any ring R with unity. A ring R is called clean if each element of R is the sum of a unit and an idempotent, while an R-module M is called clean if its endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is clean, in this study, it is shown that every module is a submodule of a clean module. Keywords:clean ring, submodule, clean module PendahuluanPada keseluruhan tulisan ini, ring yang digunakan merupakan ring dengan elemen satuan, dan yang dimaksud modul adalah modul kanan, sedangkan notasiA yaitu fungsi yang memetakan. Lebih lanjut lagi, himpunan semua bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan bulat modulo n secara berturut-turut dinotasikan dengan Z, Q dan Zn. Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou [6] memberikan definisi bahwa suatu ring R dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari ring R merupakan elemen bersih, sedangkan suatu elemen dalam suatu ring R dikatakan bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit dari ring R. Camillo et.al. [1] memberikan definisi bahwa suatu modul atas ring R dikatakan bersih apabila ring endomorfisma dari modul tersebut merupakan ring bersih.