Special orbifolds and birational classification: a survey

Campana, Frédéric

doi:10.4171/007-1/6

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“…Les conjectures C orb n,m (voir la conjecture 7.1 ci-dessous) et la conjecture 6.82 (1)-(2) ci-dessus sont déduites de conjectures (plus ou moins) standard du LMMP dans [17]. La conjecture d'isotrivialité la conjecture 13.29 sur les familles de variétés canoniquement polarisées y est aussi déduite des conjectures C orb n,m et la conjecture 6.82.…”

Section: Stabilité Géométrique Du Fibré Cotangent : Conjecturesunclassified

Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes

Campana¹

2010

J. Inst. Math. Jussieu

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123

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RésuméLe présent texte, suite de l'article paru en 2004 aux Annales de l'Institut Fourier, définit et établit les propriétés de base des orbifoldes géométriques, essentielles pour la compréhension de la structure birationnelle des variétés projectives ou Kählériennes compactes, et qui permettent d'en donner une vue synthétique globale très simple. Les démonstrations données reposent cependant sur les techniques usuelles de la géométrie algébrique/analytique. De nombreuses questions ou conjectures sont également formulées à leur sujet.Bien que les orbifoldes géométriques ne soient autres que les paires (X|Δ) du LMMP (avec éX compacte et Kähler), leur origine et leurs motivations initiales sont entièrement différentes : le diviseur orbifolde Δ, analogue à un diviseur de ramification, encode les fibres multiples d'une fibration de base X, et (X|Δ) apparait comme un revêtement de X qui ramifie exactement (multiplicités comprises) au-dessus de Δ, et élimine les fibres multiples en codimension 1, par changement de base virtuel. Cette origine géométrique permet de munir naturellement les orbifoldes géométriques des invariants usuels des variétés : morphismes et applications biméromorphes, formes différentielles, groupe fondamental et revêtement universel, pseudométrique de Kobayashi, corps de définition et points rationnels. On s'attend à ce que leur géométrie qualitative soit la même que celle des variétés ayant des invariants similaires. Les plus élémentaires de ces propriétés géométriques sont établies ici, par adaptation directe des arguments utilisés pour les variétésLes fibrations possédent, dans la catégorie biméromorphe des orbifoldes géométriques, des propriétés d'extension (ou « d'additivité ») non satisfaites dans la catégorie des variétés sans structure orbifolde, ce qui permet d'exprimer certains invariants de l'espace total comme extension (ou « somme ») de ceux de la fibre générale orbifolde, et de la base orbifolde. Par exemple, la suite des groupes fondamentaux est toujours exacte dans la catégorie orbifolde. De même, l'espace total d'une fibration est spéciale (voir ci-dessous) si la fibre orbifolde générique et la base orbifode le sont. En fait, les orbifoldes géométriques ont été initialement introduites précisément pour remédier à ce défaut d'additivité.Une conséquence naturelle de ces constructions est l'introduction d'une classe nouvelle : les orbifoldes géométriques spéciales, qui sont celles qui ne dominent méromorphiquement aucune orbifolde géométrique de type général et de dimension positive. Ces orbifoldes spéciales sont exactement celles qui sont (canoniquement) décomposées (conditionnellement en une variante orbifolde de la conjecture Cn,m) en tours de fibrations ayant des fibres telles que, ou bien κ = 0, ou bien κ+ = −∞. Ces dernières sont celles ne dominant pas d'orbifolde de dimension strictement positive et telle que κ ≥ 0. Conjecturalement, ce sont celles qui sont rationnellement connexes dans la catégorie orbifolde. La connexité rationnelle est définie de la façon habituelle, une fois les courbes rationnelles orbifoldes définies.Cette décomposition permet de relever aux orbifoldes spéciales certaines propriétés connues ou conjecturées pour les orbifoldes telles que κ+ = −∞ ou κ = 0, et elle conduit à conjecturer, entre autres, que le fait d'être spéciale est la caractérisation exacte de certaines propriétés importantes (telles que la densité potentielle ou l'annulation de la pseudométrique de Kobayashi). Elles jouent conjecturalement un rôle central dans d'autres problèmes, tels que les espaces de paramètre des familles de variétés canoniquement polarisées.Enfin, nous construisons, sur toute orbifolde géométrique (X|Δ), une unique fibration caractérisée par le fait que ses fibres orbifoldes sont spéciales, et sa base orbifolde de type général. Cette fibration scinde donc l'orbifolde en ses parties antithétiques: spéciale (les fibres) et de type général (la base) au niveau géométrique, mais aussi conjecturalement aux niveaux arithmétique et hyperbolique.De nombreux problèmes essentiels relatifs à l'équivalence biméromorphe dans cette catégorie orbifolde restent néammoins ouverts (en particulier, leur extension aux orbifoldes Log-terminales ou Log-canoniques).On trouvera dans l'article à paraitre dans les proceedings de la conférence de Schiermonnikoog une version abrégée en anglais du présent texte, ainsi que des compléments sur les relations avec le LMMP.

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Section: Stabilité Géométrique Du Fibré Cotangent : Conjecturesunclassified

Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes

Campana¹

2010

J. Inst. Math. Jussieu

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123

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“…Remark 3.4. -In these cases, using the invariant κ ++ introduced in [6], the corollary 3.1 shows in particular that κ ++ (X", ∆") = 0 (resp. −∞)…”

Section: Birational Stability Of the Orbifold Cotangent Bundlesmentioning

confidence: 99%

“…Starting from our initial log-canonical (X, ∆), we can thus take a logresolution g : X → X such that X is smooth, and a smooth orbifold pair (X , ∆ ) with f : X → Z holomorphic and birationally equivalent to f via a modification v : Z → Z, Z smooth, such that: g * (∆ ) = ∆, K X + ∆ = g * (K X + ∆) + E, with E g-exceptional, and such that, moreover, f : X → Z is ∆ -neat. Because our curves C = g * (C ), with C ⊂ Y a Mehta-Ramanathan curve for H = π * (B) do not meet the (6) And since (X, ∆) is log-canonical. This the place where this hypothesis is used.…”

Section: Annales De L'institut Fouriermentioning

confidence: 99%

“…The idea to finish the proof is that, since (K X + ∆) is pseudo-effective (6) , the relative canonical bundle of f is pseudo-effective on any 'neat' model of f , which contradicts the positivity of the degree of F (s) when restricted to a generic curve C. The quotient sheaf Q f,∆ of π * (Ω 1 (X, ∆)) we have considered has however as kernel, not f * (Ω 1 Z ), but its saturation in π * (Ω 1 (X, ∆)). The difference for the degree computed on C is however, after proposition 1.9 above, interpreted geometrically as coming from the orbifold divisor ∆ and the multiple fibres (7) of any 'neat' model of f .…”

Section: Annales De L'institut Fouriermentioning

confidence: 99%

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Orbifold generic semi-positivity: an application to families of canonically polarized manifolds

Campana¹,

Păun²

2015

Ann. inst. Fourier

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Let X be a normal projective manifold, equipped with an effective 'orbifold' divisor ∆, such that the pair (X, ∆) is logcanonical. We first define the notion of 'orbifold cotangent bundle' Ω 1 (X, ∆), living on any suitable ramified cover of X. We are then in position to formulate and prove (in a completely different way) an orbifold version of Y. Miyaoka's generic semi-positivity theorem:Using the deep results of the LMMP, we immediately get a statement conjectured by E. Viehweg: if X is smooth, and if ∆ is a reduced divisor with simple normal crossings on X such that some tensor power of Ω 1 (X, ∆) = Ω 1 X (Log(∆)) contains the injective image of a big line bundle, then K X + ∆ is big.This implies, by fundamental results of Viehweg-Zuo, the 'Shafarevich-Viehweg hyperbolicity conjecture': if an algebraic family of canonically polarized manifolds parametrised by a quasiprojective manifold B has 'maximal variation', then B is of loggeneral type.Résumé: Nous définissons la notion de 'fibré cotangent orbifolde' Ω 1 (X, ∆) pour une paire (X, ∆) log-canonique: ce fibré est défini sur des revêtement cycliques adéquats. Nous formulons et démontrons ensuite une version orbifolde du théorème de semi-positivité générique de Y. Miyaoka: Ω 1 (X, ∆) est génériquement semi-positif si K X + ∆ est pseudo-effectif. Nous en déduisons, à l'aide des résultats récents du PMML, un énoncé conjecturé par E. Viehweg: si X est lisse, et si ∆ est un diviseur réduit à croisements normaux simples sur X tel qu'une puissance tensorielle de Ω 1 X (Log(∆)) contienne un fibré en droites 'big', alors K X + ∆ est lui-même 'big'. Les travaux de Viehweg-Zuo impliquent alors la conjecture d'hyperbolicité de V.I. Shafarevich: si une famille algébrique de variétés projectives canoniquement polarisées et paramétrée par une variété quasi-projective irréductible lisse B a une 'variation' maximale, égale à dim(B), alors B est de type log-général.Mots-clé: Fibré cotangent orbifolde, semi-positivité générique, variété canoniquement polarisées.

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“…In the classification of varieties proposed by Campana [6,7], a central rôle is played by the concept of general type fibrations. Roughly speaking, a fibration f : X −→ Y is of general type if either Y is of general type, or f has "enough multiple fibres" (Definition 1.2).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Fibrations of Campana general type on surfaces

Stoppino

2011

Geom Dedicata

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We construct complex surfaces with genus two fibrations over P^1 having special fibres such that the minimum of the multiplicities of the components is ≥ 2 whereas the g.c.d is 1. We can then produce new examples of fibred surfaces without multiple fibres which are of “general type” according to the definition of Campana. We prove that these surfaces are of general type and simply connected; and we compute in some cases their invariants. Moreover, we extend the construction obtaining general type fibrations of any even genus on simply connected surfaces. All our examples are defined over number field

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Special orbifolds and birational classification: a survey

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Orbifoldes géométriques spéciales et classification biméromorphe des variétés kählériennes compactes

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