Stationäre ERLANGsche Prozesse

Abstract

In inehreren Arbeiten wurden bisher ERLANGsche Bedienungsprozesse mi t abhangigen Bedienungszeiten untersucht: [3], [6], [7], [8], [lo]. I m Mittelpunkt des Interesses standen stationare Verteilungen fur diese Prozesse. Eine groBe Klasse derartiger Verteilungen wurde in [ 61 angegeben. In der vorliegenden Arbeit wird die Vermutung als richtig nachgewiesen, daB es dariiber hinaus keine wejteren stationairen Verteilungen fur ERLANGsche Prozesse gibt. In den vergangenen zehn Jahren waren die Bestrebungen, die genannte Vermutung zu beweisen, auf auaerordentliche Schwierigkeiten gestoaen. Als Ergebnis dieser Bemuhungen wurden tiefere Einsichten in die Struktur ERLANGscher Prozesse gewonnen, mit deren Darlegung in [7], [S] und [lo] begonnen wurde. Die in [7] und [ 81 enthaltenen Untersuchungen werden in der vorliegenden Publikation mit verbesserten Methoden weitergefuhrt. Wir betrachten ein Bedienungssystem aus n Bedienungseinrjchtungen, auf das ein stationarer Porssomcher Strom von Forderungen der Intensitat A > 0trifft. Die Folge der Ankunftszeiten von Forderungen werde durch 0 < a1 < < u2 < . . . , die der Bedienungszeiten bei der k-ten Bedienungseinrichtung (k = 1, . , . , n) durch {zkl: 2 = 0, 1, . . .} bezeichnet. Es werde zkm > 0 (m = 1,2,. . .) und zko 2 0 (k = 1, . . . , n) vorausgesetzt. Dabei sol1 zko = 0 bedeuten, daS der k-te Bediener bei Aufnahme des Betriebes, also im Zeitpunkt t = 0, frei ist und friihestens zur Zeit t = u1 besetzt werden kann; dagegen heifit zko > 0, daB die k-te Einrichtung zu Beginn besetzt und zur Zeit t = zko erstmalig frei wird. Jede eintretende Forderung wird ,,auf gut Gluck" an einen der gerade freien Bediener gegeben ; falls eine Forderung dle Einrichtungen besetzt vorfindet, geht sie verloren. Das heiI3t zum Beispiel, daB die erste Forderung nicht berucksichtigt wird, wenn zl0, . , . , zno > q. '1st dagegen fur ejn festes ko = 1, . . . , n die Beziehung rkOO 5 q erfullt, so belegt die erste Forderung mit Wahrscheinlichkeit * * 9 vn) = ( f l t , y n ( v i ) * * . , vn-i)) Sty,) . ' %Jt n A-meJbar. J f (9) W h ) = J Es,, = E, O ( % , J -I . S f (~i , .. . > vn-3, 7 ) E q ( d (~i , . . . )~% -i ) ) E(d(qi,. . ., 7 N -i ) 7)) . M n -i X A FGr alle t E R und alle 7 E A gilt