Sur une classe de surfaces algébriques liées aux fonctions abéliennes de genre trois

Abstract

Sur une classe de surfaces algébriques liées aux fonctions abéliennes de genre trois Annales scientifiques de l'É.N.S. 3 e série, tome 26 (1909), p. 193-258 <http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1909_3_26__193_0> © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1909, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ ^g L. REMV. Les surfaces S possèdent trois intégrales deditterentielles totales de première espèce linéaireo;ient distinctes : Çdu, fdv, chv. Réciproquement toute intégrale de différentielle totale de première espèce de la surface est une combinaison linéaire de ces trois intégrales. Soit en effet une telle intégrale f M </X-+-Nielle devient, lorsqu'on y remplace X, Y, Z en fonction de Çx, r), c<y)-(P (x, y; x\ y') dx-4-Q (x, y ; a?', y') dx 1 , P et Q étant deux fonctions rationnelles de x,y et^y. Si l'on suppose .r', y constants, l'intégrale précédente doit se réduire à une intégrale abélienne de première espèce de la courbe C. Dès lors P(^,r; x', y') = ^ g,(x, y) + 1, g^ (r, y) + \ ^(^../). Ài,À2, ^3 étant a priori des fonctions rationnelles de oc'\ y; mais, comme ces fonctions doivent rester finies quel que soit le point (x\y 1 ]ê lles se réduisent nécessairement à. des constantes. D'autre part, la différentielle doit rester inaltérée lorsqu'on permute les points (x, y} et («r 7 , y), ce qui exige Q(^yî^y)===À,^(^,y)4-?4^(.^7 /)+A,^3(^^y)< 11 est donc établi que l'intégrale considérée est de la forme •. (M dX 4-N JY = (\, du + \ dv •+-\ dw. Donc les surfaces S possèdent trois intégrales de différentielles totales de première espèce distinctes. En d'autres termes, les surfaces S sont des surfaces irrégulières et leur :genre numérique^ diffère de leur genre géométrique /^.; d'après SUR UNE CLASSE DE SURFACES ALGÉBRIQUES, ETC. K)7 un théorème de M. Casteinuovo, la différence (p^-pn) ^st égale au nombre des intégrales de différentielles totales de première espèce. Dès lors, le genre numérique des surfaces S est égal à zéro. 3. Proposons-nous de déterminer la valeur des invariants de M. Nôther/?^ et/?^ dont la définition est la suivante: l'invariant y^0 est le genre de la courbe générale du système canonique (ou système découpé sur la surface par ses adjointes d'ordre m-4)^ et l'invariant p^ est le nombre des points d'intersection mobiles de deux courbes de ce système. M. Nôther a d'ailleurs établi que //^^p^+f, dans le cas où les surfaces adjointes d'ordre m-4 ne passent par aucun point fixe de la surface en dehors des courbes multiples et de certains points multiples de la surface. L'équation en u, v, w des c...

A Generalization of the Weddle Surface, of Its Cremona Group, and of Its Parametric Expression in Terms of Hyperelliptic Theta Functions

“…According to the definition (12) of the P-loci, and according to (17), (18), the product of the members of a pair (30) is a spread of order p with (p -1)-fold points at p21a1 and with the (p -2)-fold curve N2p-1. The pairs for which k O are somewhat exceptional.…”