Teoria de Grupos e o Papel das Simetrias em Física

Abstract

Este artigo tem como objetivo principal apresentar, de maneira sucinta e intuitiva, aspectos fundamentais da teoria de grupos, estabelecendo sua relação com a ideia de simetria, traçando um paralelo com o desenvolvimento da mecânica quântica e da física de partículas. Buscamos abordar este tema, que é frequentemente negligenciado em cursos de graduação, partindo sempre do conceito de invariância de uma dada quantidade física de interesse para, só então, introduzir a ideia de grupo de simetria.

Um estudo didático da dinâmica de spins

“…Se compararmos ( 34) com (38), concluimos que a evolução temporal do valor esperado S (t) obedece exatamente a mesma equação clássica, mostrando a equivalência no que se refere ao tratamento matemático. Porém, vale a pena mencionar que no tratamento clássico o spin é um grandeza vetorial que varia no tempo, enquanto que, no tratamento quântico o spin é um operador, e S (t) corresponde a similaridade com o vetor S(t), mas não é este processo geométrico na física clássica que realmente ocorre na MQ.…”

“…Na prática, em um experimento de ressonância magnética, não é o momento magnético de um único spin que é observado, mas sim de um grande número spins idênticos, então devemos substituir nas Eqs. ( 34) e (38) o spin S pela magnetização nuclear M definida em (4), resultando na equação clássica:…”

“…Um tratamento mais rigoroso é uma tarefa mais recomendada para os estudantes que pretendem ingressar na área da física matemática, mas um tratamento geral e conciso é essencial para certificálo da importância deste conceito no estudo da física moderna. Existem diversas referências especializadas sobre o assunto [35], mas um artigo recente [38] neste periódico pode dar uma visão geral sobre teoria de grupos na física, onde achamos ser imprescindível sua leitura para uma boa formação do estudante em física. Usar as propriedades de simetrias é essencial na resolução de um dado problema, geralmente simplificando-o no que se refere a sua álgebra.…”

“…Quando um conjunto de matrizes 3 × 3 satisfazem estas duas propriedades, dizemos formar uma álgebra de Lie. O conjunto das matrizes ortogonais 3 × 3 forma o grupo SO(3) [38], e que {A 1 , A 2 , A 3 } são os geradores não-abeliano deste grupo, pois não comutam uns com os outros.…”

“…O conjunto das matrizes unitárias 2 × 2, que podem ser escritas na forma generalizada: 2), e as matrizes de Pauli {σ 1 , σ 2 , σ 3 } são os geradores deste grupo [38].…”