The Banzhaf Value as a Design Tool in Coalitional Control

El control coalicional en el marco de la teoría de juegos cooperativos

“…Considerando (33), definimos como δ Λ l = δ l ∩ Λ al conjunto de enlaces que pertenece simultáneamente a la terna δ l = {l, l p , l q }, con l ∈ E \{l p , l q }, y a una cierta topología Λ. Dado que los juegos originales y amalgamados solo difieren en los jugadores que se amalgaman, es posible usar δ Λ l para conectar los valores de Banzhaf de un enlace l ∈ E \{l p , l q } de los juegos original y amalgamado (Muros et al, 2017a)…”

“…Por tanto, en el juego -amalgamado los jugadores se agrupan en |E | − subcojuntos no vacíos llamados amalgamas. En (Muros et al, 2017a) se demuestra que el valor de Banzhaf de un juego se puede obtener mediante combinaciones lineales de los valores de Banzhaf apropiados de los juegos -amalgamados de dos amalgamas.…”

“…En la Figura 2 se detallan los juegos amalgamados implicados en redes de cuatro enlaces como la de la Figura 1. El conjunto G estaría formado por El valor de Banzhaf de ambas amalgamas para cada juego de G viene dado por (Muros et al, 2017a)…”

“…Más específicamente, el valor de Banzhaf de un enlace l en el juego original se calcula mediante bien la adición del valor de Banzhaf de la amalgama ς a (G t ), o bien la sustracción del valor de Banzhaf de ς b (G t ), para cada juego de dos amalgamas G t ∈ G, y asumiendo l ∈ ς a (G t ), l ς b (G t ). En otras palabras, es posible llegar a (Muros et al, 2017a)…”

“…En este sentido, es destacable la visión de (Maestre et al, 2014), donde se combinan de forma natural la teoría de juegos cooperativos y el control coalicional. En este tutorial, se analizará una línea de investigación (Muros et al, 2017a(Muros et al, ,b,c, 2016(Muros et al, , 2018a desarrollada a partir de dicho trabajo, donde se aplican al control coalicional herramientas de teoría de juegos cooperativos como el valor de Shapley (Shapley, 1953b), posición (Borm et al, 1992), Banzhaf (Banzhaf, 1965), o las soluciones de poder de Harsanyi (van den Brink et al, 2011), con objeto de imponer restricciones a los jugadores, medir su relevancia, o proponer vías de cálculo más eficientes, analizando aquí las principales características de cada herramienta.…”