The Burau representations of loop braid groups

Abstract

We give a simple topological construction of the Burau representations of the loop braid groups. There are four versions: defined either on the non-extended or extended loop braid groups, and in each case there is an unreduced and a reduced version. Three are not surprising, and one could easily guess the correct matrices to assign to generators. The fourth is more subtle, and does not seem combinatorially obvious, although it is topologically very natural.Résumé. Nous donnons une construction topologique simple et naturelle des représentations de Burau des groupes de tresses soudées. Il en existe en fait quatre versions : ces représentations peuvent être définies pour les groupes de tresses soudées étendues ou non étendues, et dans ces deux cas, il y a une version réduite et une autre non réduite. Pour trois d'entre elles, d'un point de vue rigoureusement algébrique, on peut aisément déterminer les matrices correspondant aux générateurs des groupes considérés. En revanche, la quatrième est plus subtile et ne semble pas évidente à déterminer d'un strict point de vue combinatoire, alors qu'elle est topologiquement très naturelle à définir.

Classification of charge-conserving loop braid representations

“…(6.22) Given λ ∈ J ± N ordered as above we obtain a composition tableaux in S N by filling in the numbers in order, with the first |n 1 | numbers going into n 1 from left to right and then from top to bottom. From the example above we see that (26) then becomes: λ…”

“…The loop braid group LB n is the group of motions of n free, oriented circles in the 3-ball . Representations of LB n were studied for example in [4,31,26,7,10] as well as in [17] which focused on local representations, i.e., those arising from Yang-Baxter operators.…”