The solution of Arnold's problem on the weak asymptotics of Frobenius numbers with three arguments

Ustinov, A. V.

doi:10.1070/sm2009v200n04abeh004011

Cited by 18 publications

(24 citation statements)

References 31 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…В доказательстве теоремы 5 используются идеи из работ [2], [4] и [5], также используются классические оценки тригонометрических сумм.…”

Section: (3)unclassified

“…Этот параграф является переработкой § 5 из работы [2] с учетом того, что теперь усреднение ведется по трем переменным. Обозначим через F и G сле-дующие суммы:…”

Section: (3)unclassified

“…Наиболее обширный обзор ре-зультатов и задач, связанных с числом Фробениуса, приведен в книге [1]. А. В. Устиновым в работе [2] было доказано, что функция f (a, b, c) в среднем ведет себя как Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00759-а).…”

unclassified

See 2 more Smart Citations

Среднее Значение Чисел Фробениуса С Тремя Аргументами

Фроленков¹,

Frolenkov²

2012

Izv. RAN. Ser. Mat.

View full text Add to dashboard Cite

Среднее значение чисел Фробениуса с тремя аргументамиПолучена асимптотическая формула для среднего значения чисел Фро-бениуса с тремя аргументами при усреднении по трем параметрам.Библиография: 13 наименований.Ключевые слова: числа Фробениуса, тригонометрические суммы.

show abstract

Section: (3)unclassified

unclassified

See 1 more Smart Citation

Среднее Значение Чисел Фробениуса С Тремя Аргументами

Фроленков¹,

Frolenkov²

2012

Izv. RAN. Ser. Mat.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…В статье [15] решена задача Арнольда о существовании слабой асимптотики для чисел f (a, b, c). Доказано, что в среднем по множеству …”

unclassified

“…Как и в работе [15], она выделяется при усреднении по двум аргументам из трех, а в остаточном члене получается явное степенное понижение.…”

unclassified

О Распределении Чисел Фробениуса С Тремя Аргументами

Устинов¹,

Ustinov²

2010

Izv. RAN. Ser. Mat.

View full text Add to dashboard Cite

Parametric polyhedra with at least k lattice points: Their semigroup structure and the k-Frobenius problem

Aliev

Loera

Louveaux

2016

Recent Trends in Combinatorics

View full text Add to dashboard Cite

Given an integral d × n matrix A, the well-studied affine semigroup Sg(A) = {b : Ax = b, x ∈ Z n , x ≥ 0} can be stratified by the number of lattice points inside the parametric polyhedra P A (b) = {x : Ax = b, x ≥ 0}. Such families of parametric polyhedra appear in many areas of combinatorics, convex geometry, algebra and number theory. The key themes of this paper are: (1) A structure theory that characterizes precisely the subset Sg ≥k (A) of all vectors b ∈ Sg(A) such that P A (b) ∩ Z n has at least k solutions. We demonstrate that this set is finitely generated, it is a union of translated copies of a semigroup which can be computed explicitly via Hilbert bases computations. Related results can be derived for those right-handside vectors b for which P A (b) ∩ Z n has exactly k solutions or fewer than k solutions. (2) A computational complexity theory. We show that, when n, k are fixed natural numbers, one can compute in polynomial time an encoding of Sg ≥k (A) as a multivariate generating function, using a short sum of rational functions. As a consequence, one can identify all right-hand-side vectors of bounded norm that have at least k solutions.(3) Applications and computation for the k-Frobenius numbers. Using Generating functions we prove that for fixed n, k the k-Frobenius number can be computed in polynomial time. This generalizes a well-known result for k = 1 by R. Kannan. Using some adaptation of dynamic programming we show some practical computations of k-Frobenius numbers and their relatives.

show abstract

The solution of Arnold's problem on the weak asymptotics of Frobenius numbers with three arguments

Abstract: It is shown that on the average the Frobenius numbers f (a, b, c) behave like 8 π √abc . Bibliography: 28 titles.

Cited by 18 publications

References 31 publications

Среднее Значение Чисел Фробениуса С Тремя Аргументами

Среднее Значение Чисел Фробениуса С Тремя Аргументами

О Распределении Чисел Фробениуса С Тремя Аргументами

Parametric polyhedra with at least k lattice points: Their semigroup structure and the k-Frobenius problem

Contact Info

Product

Resources

About