The Ziegler effect in a non-conservative mechanical system

On the equilibrium position stability of discrete model of filling hose under the action of reactive force

“…Это дает возможность применить теорию возмущений. В качестве малого параметра выбираем безразмерный коэффициент трения ε. В работе [4] показано, что при известных частотах явный критерий асимптотической устойчивости имеет простой вид. Мы применяем результат статьи [4] для системы с тремя степенями свободы.…”

“…Разумеется, в некритическом случае можно сделать вывод и об устойчивости положения равновесия системы (1.7). Следуя [4], дадим определение эффекта Циглера. Определение 1.…”

“…Для асимптотической устойчивости все коэффициенты разложения корней характеристического полинома должны быть отрицательны. Поэтому, согласно системе неравенств (4.3) и формуле (4.2) для λ (1) j , необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия системы (1.8) имеет вид β 5 ω 4 1 − β 3 ω 2 1 + β 1 > 0, β 5 ω 4 2 − β 3 ω 2 2 + β 1 < 0, β 5 ω 4 3 − β 3 ω 2 3 + β 3 > 0. Корни этого уравнения имеют вид…”

“…Наибольшую известность среди неконсервативных задач получил парадокс дестабилизации, называемый также эффектом Циглера [3]. Изучению этого явления посвящен целый ряд работ [2][3][4][5]. В монографии [5] эффект Циглера рассматривается как частный случай проблемы устойчивости по первому приближению положения равновесия механической системы с конечным числом степеней свободы, находящейся под действием потенциальных сил, неконсервативных позиционных сил и линейных сил вязкого трения.…”

Stability and Boundedness of the Solutions of Multi-Parameter Dynamical Systems with Circulatory Forces

“…This property is often referred to as Ziegler's paradox [14], since adding a viscous damping to the joints of a double pendulum subjected to the follower force destabilizes the system. After the publication of Ziegler in 1952, investigations of the destabilizing effect of damping have attracted the attention of numerous researchers [15][16][17][18][19][20] and are continued to this day [5,21,22]. Furthermore, an additional interesting feature of the "reciprocal" damping effect follows: when adding a damping to unstable non-conservative system, this yields stabilization of an unstable system (in the Lyapunov sense), and the further increasing of damping leads back to instability [23].…”